Редактирование: Участник:Iloskutov/Матан 4сем
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 3: | Строка 3: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> | + | <tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex><br> |
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex> | Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 10: | Строка 10: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex>\Phi^{-1}( | + | Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex><br> |
− | <tex> | + | <tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера<br> |
− | <tex> | + | <tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex> |
}} | }} | ||
Строка 18: | Строка 18: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex><br> |
− | <tex>w \geqslant 0</tex> | + | <tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция<br> |
− | <tex>\Phi | + | <tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex><br> |
− | Тогда <tex | + | Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес |
}} | }} | ||
Строка 27: | Строка 27: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex><br> |
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br> | <tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br> | ||
− | <tex>w \geqslant 0</tex> | + | <tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex><br> |
− | <tex> | + | <tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex><br> |
− | + | <tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex> | |
}} | }} | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br> |
− | + | <tex>\mu</tex> - заряд | |
}} | }} | ||
Строка 44: | Строка 44: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>\forall E \in B | + | <tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br> |
− | <tex>B \in | + | <tex>B \in A</tex> - множество положительности |
}} | }} | ||
Строка 51: | Строка 51: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>\mu, | + | <tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex><br> |
− | + | <tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex> | |
}} | }} | ||
Строка 58: | Строка 58: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex><br> |
− | <tex>X \times Y</tex> | + | <tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex><br> |
− | <tex>m | + | <tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex><br> |
− | <tex>m</tex> | + | <tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex> |
}} | }} | ||
Строка 120: | Строка 120: | ||
=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ === | === Пространство $L^\infty(E,\mu)$ === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0( | + | |definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex> |
}} | }} | ||
Строка 180: | Строка 180: | ||
}} | }} | ||
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве === | === Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье === | === Коэффициенты Фурье, ряд Фурье === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{ | + | |definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье |
}} | }} | ||
Строка 208: | Строка 203: | ||
=== Коэффициенты Фурье функции === | === Коэффициенты Фурье функции === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера === | === Ядро Дирихле, ядро Фейера === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 239: | Строка 223: | ||
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам: | <tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам: | ||
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex> | * <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex> | ||
− | * L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в | + | * L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex> |
− | * <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} | | + | * <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex> |
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей. | Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей. | ||
}} | }} | ||
Строка 252: | Строка 236: | ||
=== Метод суммирования средними арифметическими === | === Метод суммирования средними арифметическими === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 === | === Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 === | ||
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 === | === Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Поверхностный интеграл первого рода === | === Поверхностный интеграл первого рода === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 270: | Строка 244: | ||
}} | }} | ||
− | === Кусочно-гладкая поверхность в | + | === Кусочно-гладкая поверхность в R^3 === |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение: | |definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение: | ||
Строка 277: | Строка 251: | ||
* конечного числа точек | * конечного числа точек | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Сторона поверхности === | === Сторона поверхности === | ||
Строка 296: | Строка 271: | ||
=== Интеграл II рода === | === Интеграл II рода === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности === | === Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Ротор, дивергенция векторного поля === | === Ротор, дивергенция векторного поля === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 325: | Строка 288: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда |
− | : <tex>\displaystyle\int | + | : <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 340: | Строка 299: | ||
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex> | <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 356: | Строка 308: | ||
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex> | Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 375: | Строка 313: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br> |
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br> | <tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br> | ||
− | Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex> | + | Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 396: | Строка 322: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex><br> |
− | Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu | + | Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 414: | Строка 334: | ||
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex> | # <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 425: | Строка 343: | ||
# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> | # <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> | ||
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex> | # <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex> | ||
− | # <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}( | + | # <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 439: | Строка 350: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot | + | <tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 453: | Строка 363: | ||
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex> | Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 466: | Строка 371: | ||
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex> | <tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 480: | Строка 376: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности<br> |
− | Тогда <tex>\exists | + | Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 513: | Строка 388: | ||
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>. | <tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |statement= | + | |statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>. |
− | + | <tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
− | + | Хз если честно((99 | |
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 536: | Строка 399: | ||
|statement= | |statement= | ||
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br> | <tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br> | ||
− | Пусть <tex>c > | | + | Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex><br> |
− | Тогда <tex> | + | Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex><br> |
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex> | <tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
Строка 545: | Строка 408: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>\phi | + | <tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br> |
− | Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a | | + | Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 553: | Строка 416: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>\ | + | <tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм<br> |
− | Пусть <tex>O_1 := \ | + | Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex><br> |
− | Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \ | + | Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 569: | Строка 432: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex><br> |
− | <tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} | + | <tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex><br> |
Тогда: | Тогда: | ||
# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex> | # <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex> | ||
− | # <tex>x \ | + | # <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex> |
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex> | # <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex> | ||
Строка 618: | Строка 481: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex><br> |
− | <tex>f | + | <tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда: |
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex> | # <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex> | ||
− | # <tex> x \ | + | # <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex> |
− | # <tex>\int f | + | # <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex> |
Аналогично для <tex>C_y</tex> | Аналогично для <tex>C_y</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 649: | Строка 499: | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля | + | === Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) === |
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 686: | Строка 536: | ||
--><tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex><br><!-- | --><tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex><br><!-- | ||
--><tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex><p><!-- | --><tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex><p><!-- | ||
− | -->Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant | + | -->Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)</p> |
}} | }} | ||
Строка 728: | Строка 578: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex> |
<tex>X = \bigsqcup X_k</tex> | <tex>X = \bigsqcup X_k</tex> | ||
Строка 736: | Строка 586: | ||
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно | в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно | ||
|proof= | |proof= | ||
− | # <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\ | + | # <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex><br><!-- |
-->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!-- | -->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!-- | ||
− | --><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\ | + | --><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex> |
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!-- | # <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!-- | ||
--><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!-- | --><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!-- | ||
Строка 757: | Строка 607: | ||
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>. | Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>. | ||
− | <tex>f(x) := \sup \{ | + | <tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр. |
− | <tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац. <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = | + | <tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац. <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex> |
}} | }} | ||
Строка 825: | Строка 675: | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема Рисса | + | === Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 863: | Строка 713: | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема Римана | + | === Теорема Римана--Лебега === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>E \ | + | <tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex><br> |
Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>) | Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>) | ||
Строка 926: | Строка 776: | ||
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex> | <tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex | + | <tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex><br> |
− | <tex | + | <tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex><br> |
− | + | <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br> | |
− | \forall \ | + | <tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex> |
− | \sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \ | ||
}} | }} | ||
Строка 955: | Строка 804: | ||
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br> | <tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br> | ||
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости. | Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости. | ||
− | Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P | + | Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 965: | Строка 814: | ||
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br> | <tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br> | ||
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда: | <tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда: | ||
− | :<tex | + | :<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
− | === Формула Гаусса | + | === Формула Гаусса--Остроградского === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
− | |||
=== Бескоординатное определение ротора === | === Бескоординатное определение ротора === | ||
{{Теорема | {{Теорема |