Изменения
→Плотность в L^p множества ступенчатых функций
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex><br><!--
-->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!--
--><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!--
--><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!--
--><tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex><br><!--
--><tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}
