Изменения

Также как и алгоритм Эппштейна, K* выполняет поиск пути на графе <tex>G</tex> и использует граф путей <tex>P(G)</tex>. Граф путей ищется с помощью алгоритма Дейкстры для того, чтобы вычислить пути <tex>s-t</tex> в виде последовательности запасных путей. Общий принцип работы алгоритма K* следующий:  1) K* применяет A* на графе <tex>G</tex> вместо обратного алгоритма Дейкстры, который используется алгоритмом Эппштейна. 2) Мы запускаем A* на <tex>G</tex> и Дейкстру на <tex>P(G)</tex> в поочередном порядке, который позволяет Дейкстре вычислить требуемые пути до заверешения полного поиска алгоритма A* на графе <tex>G</tex> . == Описание 4.1 Поиск A* на G ==Сумма Минковского позволяет решать задачу Motion PlanningK* применяет A* к входному графу <tex>G</tex> для того, чтобы построить дерево поиска <tex>T</tex>. Заметим, что A*, также как и алгоритм Дейкстры, строит дерево поиска в процессе нахождения кратчайшего пути <tex>s-t</tex> . Эти деревья формируются с помощью ссылок на родительские узлы, которые хранятся в случаетом время, как A* производит итерации для того, чтобы восстановить путь <tex>s-t</tex>, когда робота нельзя поворачиватьвершина <tex>t</tex> ещё не найдена. Запасные ребра, открытые в процессе поиска A* на графе G, немедленно добавляются в граф P(G), структура которого будет объясняться в разделе 4.3.  В K* A* применяется к графу <tex>G</tex> в прямом направлении в отличие от алгоритма Эппштейна, из-за чего корнем дерева <tex>T</tex> является вершина начальная <tex>s</tex>. Таким образомЭто необходимо для того, чтобы была возможность работать c неявным описанием графа <tex>G</tex> через функцию successor (функция, возвращающая список исходящих ребер из данной вершины). На протяжение статьи будем считать граф <tex>G</tex> конечным, если не будет сказано иное. Заметим, что А* корректен на конечных графах. Будем следовать литературному соглашению, предполагая, что стоимость бесконечного пути неограниченна. == 4.2 Стоимость объезда ==[[Файл:kstar-figure-3.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 3.''' Исходный граф, в котором сплошные линии представляют построенное A* дерево поиска <tex>T</tex>. Пунктирные линии являются запасными ребрами.]]Для ребра <tex>(u, v)</tex> стоимость '''объезда''' (англ. ''detour'') <tex>\delta(u, каждой точке v)</tex> представляет стоимость '''ущерба''' (англ. ''disadvantage'') из-за взятия ребра объезда <tex>(xu, yv)</tex> ставится в соответствие фигура робота сравнении с кратчайшим путем <tex>s-t</tex> через <tex>v</tex>. Ни длина кратчайшего пути <tex>s-t</tex> через <tex>v</tex>, ни длина пути <tex>s-t</tex>, включающего запасные ребра <tex>(u, v)</tex> не известны, когда A* обнаруживает <tex>R(xu, yv)</tex>. Обе длины могут быть оценены с помощью функции оценки <tex>f</tex>, которая использует эвристическую функцию <tex>h</tex>. Пусть <tex>f(v)</tex> будет <tex>f</tex>-значением с точкой привязки помещенной соответствии с деревом поиска <tex>T</tex> и <tex>f_u(v)</tex> будет <tex>f</tex>-значением в соответствии с родителем u, т.е. <tex>f_u(v) = g(u) + c(u, v) + h(v)</tex>. Тогда <tex>\delta(u, v)</tex> может быть определена так: <tex>\delta(u, v) = f_u(v) - f(v) = g(u) + c(u, v) + h(v) - g(v) - h(v) = g(u) + c(u, v) - g(v)</tex> Заметим, что <tex>\delta(u, v)</tex> дает точную объездную метрику, поскольку оценочное <tex>h</tex>-значение не появляется в точку определении функции <tex>\delta(xu, yv)</tex>.{{Определение|definition=Для заданного робота = 4.3 Структура графа путей ==Структура графа путей <tex>P(G)</tex> довольно сложная. В принципе, <tex>P(G)</tex> будет ориентированным графом, вершины которого соответствуют ребрам в исходном графе <tex>G</tex>. Он будет организован как коллекция взаимосвязанных '''куч''' (англ. ''heap''). 2 бинарные кучи минимума присвоены к каждой вершине <tex>v</tex> в графе <tex>G</tex>, которые называются '''входящей кучей''' (англ. ''incoming heap'')<tex>RH_{in}(v)</tex> и препятствия '''деревянной кучей''' (англ. ''tree heap'') <tex>H_{T}(v)</tex>. Эти кучи являются базисом <tex>P(G)</tex>. Как мы покажем далее, использование этих куч также играет главную роль в поддержании асимптотической сложности K*, также как в EA и LVEA. Входящая куча <tex>H_{in}(v)</tex> содержит узлы для каждого запасного ребра к вершине <tex>v</tex>, которые до сих пор были обнаружены A*. Узлы <tex>H_{in}(v)</tex> будут упорядочены в соответствии с <tex>\delta</tex>-значением соответствующих переходов. Узел владеющий ребром с минимальной стоимостью ущерба будет расположен на вершине кучи. Мы ограничим структуру кучи <tex>H_{in}(v)</tex>таким образом, что её корень в отличие от остальных узлов, будет иметь не более 1 ребенка. Обозначим его <tex>root_{in}(v)</tex>. '''КПример 4.''' Рисунок 4 иллюстрирует входящие кучи графа из рисунка 3. Цифры рядом с узлами кучи соответствуют <tex>\delta</tex>-значениям. [[Файл:kstar-figure-препятствием4.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 4.' называется множество точек'' Входящие кучи <tex>H_{in}(s_i)</tex>, полученные из графа, показанного на рисунке 3.]] Деревянная куча <tex>H_{T}(v)</tex> для произвольной вершины <tex>v</tex> строится следующим образом. Если <tex>v</tex> - стартовая вершина, т.е. <tex>v = s</tex>, будучи помещенным то <tex>H_{T}(v)</tex> будет изначально пустой кучей. Затем в неё будет добавлен <tex>root_{in}(s)</tex>, если <tex>H_{in}(s)</tex> не пустая. Если <tex>v</tex> не стартовая вершина, то пусть вершина <tex>u</tex> будет родителем вершины <tex>v</tex> в дереве поиска <tex>T</tex>. Мы можем представить, что <tex>H_{T}(v)</tex> конструируется как копия <tex>H_{T}(u)</tex>, в которую добавлен <tex>root_{in}(v)</tex>. Если <tex>H_{in}(v)</tex> пустая, то <tex>H_{T}(v)</tex> идентична <tex>H_{T}(u)</tex>. Однако, для экономии памяти мы создаем только дешевую копию <tex>H_{T}(u)</tex>. Это осуществляется через создание копий только тех узлов кучи, которыележат на обновленном пути в <tex>H_{T}(u)</tex>. Оставшаяся часть <tex>H_{T}(u)</tex> не копируется. Другими словами, <tex>root_{in}(v)</tex> вставляется в <tex>H_{T}(u)</tex> неразрушающим путем так, что структура <tex>H_{T}(u)</tex> сохраняется. В куче <tex>H_{T}(v)</tex> к <tex>root_{in}(v)</tex> могут быть присоединены 1 или 2 ребенка. К тому же, робот заденет препятствие<tex>root_{in}(v)</tex> хранит только 1 собственного ребенка из <tex>H_{in}(v)</tex>. Мы обозначим корень <tex>H_{T}(v)</tex> как <tex>R(v)</tex>. [[Файл: kstar-figure-5.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 5.''' Деревянные кучи <tex>H_{T}(s_i)</tex>, полученные из графа, показанного на рисунке 3.]] Назовем ребра, которые берут начало из входящих или деревянных куч, '''кучными ребрами''' (англ. ''heap edges''). Сформулируем следующую лемму.{{Лемма|about=1|statement=Все узлы, достижимые из <tex>CP :R(v)</tex> по кучным ребрам, для каждой вершины <tex>v</tex> формируют тернарную кучу, упорядоченную в соответствии с <tex>\delta</tex>-значением. Мы назовем такую кучу '''графовой кучей''' (англ. ''graph heap'') вершины <tex>v</tex> и обозначим её как <tex>H_{G}(v)</tex>.|proof= \Те узлы, которые находятся в <tex>H_{T}(xv)</tex> или во входящей куче, yна которую ссылается узел из <tex>H_{T}(v) : </tex>, достижимы по кучным ребрам из <tex>R(xv)</tex>. Деревянная куча <tex>H_{T}(v)</tex> формируется через добавление корней входящих куч всех вершин, yлежащих на пути из стартовой вершины <tex>s</tex> до <tex>v</tex> в бинарной куче. Каждый из этих корней имеет максимум 3 детей: до 2 в <tex>H_{T}(v) </tex> и дополнительно единственного из входящей кучи. Любой другой узел, живущий во входящей куче имеет не больше 2 детей. Напомним, что каждая входящая куча - это бинарная куча с ограничением, что корень имеет единственного ребенка. Древовидная структура <tex>H_{G}(v)</tex> непосредственный результат древовидных структур <tex>H_{T}(v)</tex> и входящих куч. Более того, кучная характеристика деревянной кучи обеспечивает упорядочивание в соответствии с <tex>\cap P \neq delta</tex>-значением по ребрам из <tex>H_{T}(v)</tex>, а кучная характеристика входящих куч - по всем ребрам из <tex>H_{in}</tex>. Все это приводит к тому, что <tex>H_{G}(v)</tex> - тернарная куча, упорядоченная в соответствии с <tex>\varnothing\}delta</tex>-значением.

 Финальная структура <tex>P(G)</tex> получется из входящих и деревянных куч следующим образом. К каждому узлу <tex>n</tex> из <tex>P(G)</tex>, несущему ребро <tex>(u,v)</tex>, мы присоединим указатель, ссылающийся на <tex>R(u)</tex>, который является корневым узлом <tex>H_{{Определение|definition=T}(u)</tex>. Мы назовем такие указатели '''кросс-ребрами'''(англ. 'Суммой Минковского'cross edges'' двух множеств ), в то время как указатели, возникающие из куч названы кучными ребрами, как упоминалось раньше. Более того, мы добавим специальный узел <tex>S_1 \subset mathrm{R}</tex> в <tex>P(G)</tex> с одним выходящим кросс-ребром к <tex>R^2(t)</tex>. Более того, S_2 мы определим весовую функцию <tex>\subset R^2Delta</tex> на ребрах из <tex>P(G)</tex>. Пусть <tex>(n,n')</tex> обозначает ребро в <tex>P(G)</tex>, и пусть <tex>e</tex> и <tex>e'</tex> обозначают ребра из <tex>G</tex>, соответствующие узлам <tex>n</tex> и <tex>n'</tex> называется множество . Тогда определим <tex>S_1 \oplus S_2 Delta(n,n')</tex> следующим образом:  <tex> \Delta(n,n')= \begin{p + q : p cases} \delta(e') - \delta(e),& \text{if}\ (n,n')\ \text{heap edge} \\ \delta(e'),& \text{if}\in S_1(n, q n')\in S_2\text{cross edge}. \end{cases} </tex> Лемма 1 подразумевает, что куча упорядоченная в соответствии с <tex>\delta</tex>-значанием поддерживается для любого кучного ребра из <tex>P(G)</tex>. Эта упорядочивание кучи подразумевает, что <tex>\Delta(n,n')</tex> неотрицательна для любого кучного ребра <tex>(n,n')</tex>. Следовательно, <tex>\Delta</tex>также неотрицательна, т.е. <tex>\Delta(n, где n') >= 0</tex> для любого ребра <tex>p + q(n,n')</tex> обозначает векторную суммув <tex>P(G)</tex>. Стоимость пути <tex>\sigma</tex>, т.е.<tex>C_{P(G)}(\sigma)</tex> равна <tex>\sum_{e \in \sigma}{{Определение\Delta(e)</tex>. |definition='''ОтрицаниемПример 6.''' множества  В оставшейся части этого раздела мы проиллюстрируем особенности структуры графа путей, которые актуальны для нахождения кратчайших путей <tex>s-t</tex>.  Первое наблюдение в том, что <tex>P(G)</tex> ориентированный взвешенный граф. Каждый узел в <tex>P(G)</tex> несет запасное ребро из G. Использование бинарных куч в конструкции <tex>P(G)</tex> извлекает выгоду из следующих 2 свойств. Во-первых, произвольный узел в <tex>P(G)</tex> имеет не более 4 выходящих ребер. Одним из ребер будет точно кросс-ребро в то время, как оставшимися будут кучные ребра. Во-вторых, функция веса <tex>S \subset Delta</tex> неотрицательна. Как станет ясно в разделе 5, эти свойства необходимы для доказательства правильности и определения сложности K*. Второе наблюдение заключается в существовании соответствия один-к-одному между путей <tex>s-t</tex> в <tex>G</tex> и путей в <tex>Р(G)</tex>, которые начинаются в <tex>\mathrm{R^}</tex>. ... {{Лемма|about=2|statement=Пусть <tex>n</tex> называется множество будет узлом графовой кучи <tex>-S := \H_{G}(w)</tex> для какой-p : p \in S\}нибудь вершины <tex>w</tex>. Пусть <tex>(u, где v)</tex> будет ребром связанным с <tex>n</tex>. Тогда существует путь в дереве поиска <tex>T</tex> из <tex>-pv</tex> в <tex>w</tex> обозначает векторное отрицание.|proof=...

Пусть робот задевает препятствие== 4.4 Алгоритмическая структура K* ==Алгоритмический принцип K* следующий. Будем запускать алгоритмы Дейкстры и A* на <tex>G</tex> с чередованием. Сначала, мы выполним A* на <tex>G</tex>, который будет работать до тех, пока вершина <tex>t</tex> не будет выбрана из очереди для раскрытия. Затем, и точка вы запустим алгоритм Дейкстры на доступной части <tex>q = P(q_x G)</tex>. Каждый узел раскрытый Дейкстрой представляет путь. Если точнее, q_yто путь <tex>\sigma</tex> в <tex>P(G)</tex> , по которому Дейкстра достигла этого узла является точкой пересечениярешением. Тогда, так как Путь <tex>s-t</tex> может быть построен из <tex>q \in Rsigma</tex> за линейное время путем вычисления последовательности запасных ребер <tex>seq(x, y\sigma)</tex>и затем <tex>s-t</tex> пути из неё. Если Дейкстра находит <tex>k</tex> кратчайших путей, то K* завершается успешно. Иначе, A* возобновляется для исследования большей части <tex>G</tex>. Это приводит к росту <tex>P(q_x - xG)</tex>, на котором алгоритм Дейкстры затем будет возобновлен. Мы будем повторять этот процесс до тех пор, q_y пока алгоритм Дейкстры не найдет <tex>k</tex> кратчайших путей.  Data: A graph given by its start vertex s ∈ V and its successor function succ and anatural number kResult: A list R containing k sidetrack edge sequences representing k solution paths  1 <tex>open_D</tex> ← пустая приоритетная очередь 2 <tex>closed_D</tex> ← пустая хеш- yтаблица 3 <tex>R</tex> ← пустой список 4 <tex>P(G) </tex> ← пустой граф путей 5 Выполняем A* на графе <tex>G</tex> пока <tex>t</tex> не будет выбрана для раскрытия 6 Если вершина <tex>t</tex> не была достигнута, то выходим без ответа 7 Кладем <tex>\in mathrm{R}</tex> в очередь <tex>open_D</tex> 8 '''while''' A queue or open D is not empty: 9 '''if''' A queue is not empty: 10 '''if''' очередь <tex>open_D</tex> не пуста: 11 Let u be the head of the search queue of A ∗ and n the head of <tex>open_D</tex> 12 <tex>d = max\{ d(0n) + \Delta(n,0n') | n' \in succ(n) \}</tex> 13 '''if''' <tex>g(t)+ d <= f</tex>(u) then переходим на строку 17. 14 Возобновляем A* для того, или чтобы исследовать более большую часть графа <tex>G</tex> 15 Обновляем <tex>P(x G)</tex> and bring Dijkstra’s search into a consistent status 16 Переходим на строку 8 17 '''if''' очередь <tex>open_D</tex> пуста: переходим на строку 8. 18 Remove from <tex>open_D</tex> and place on <tex>closed_D</tex> the node n with the minimal d- q_x value. 19 '''foreach''' <tex>n'</tex> referred by n in P(G): 20 <tex>d(n') = d(n) + \Delta(n, y - q_yn') </tex> 21 Attach to <tex>n'</tex> a parent link referring to <tex>n</tex>. 22 Insert n 0 into <tex>open_D</tex> 23 Пусть <tex>\in -Rsigma</tex> будет путем в <tex>P(0G)</tex>,0через который узел n был достигнут. 24 Добавим <tex>seq(\sigma)</tex>в конец списка <tex>R</tex>. 25 '''if''' <tex>|R| = k</tex>: переходим на строку 26. 26 Return R and exit. Алгоритм 1 содержит псевдокод K*. Код с 8 по 25 строчку образует главный цикл K*. Цикл завершается, когда очереди обоих алгоритмов А* и Дейкстры пусты. До 8 строчки выполняет некоторые подготовительные вещи. После инициализации, А заметив* запускает на 5 строчке пока вершина <tex>t</tex> не будет выбрана им для рассмотрения, в этом случае кратчайший путь <tex>s-t</tex> будет найден. Если <tex>t</tex> не достигнута, то алгоритм завершается без ответа. Отметим, что он не завершится на бесконечных графах. Иначе, алгоритм добавляет специальную вершину <tex>R</tex>, которая назначена корнем <tex>q \in P(G)</tex>, получаем в поисковую очередь алгоритма Дейкстры. Затем, K* входит в главный цикл. K* поддерживает механизм планирования для контролирования, когда A* или Дейкстра будет возобновлены. Если очередь из A* не пуста, что означает, что А* ещё не завершил исследования всего графа G, то Дейкстра возобновляется тогда и только тогда, когда <tex>g(xt) + d <= f(u)</tex>. Значение <tex>d</tex> является максимальным <tex>d</tex>-значением среди всех successor-ов головы поисковой очереди <tex>n</tex> алгоритма Дейкстры. Вершина <tex>u</tex> является головой поисковой очереди A*. Напомним, что <tex>d</tex> - функция расстояния, yиспользуемая в алгоритме Дейкстры. Если очередь поиска Дейкстры пуста или <tex>g(t) \in + d > f(u)</tex>, то А* возобновляется для того, чтобы исследовать более большую часть графа <tex>G</tex> (строка 14). То, как долго мы ему позволим работать, является компромиссом. Если мы запустим его только на маленьком количестве шагов, то мы дадим Дейкстре шанс найти необходимое количество путей скорее, чем они будут доступны в <tex>P \oplus (-RG)</tex>. С другой стороны, мы вызываем накладные расходы путем переключения A* и Дейкстры и поэтому должны ограничить количество переключений. Эти накладные расходы вызваны тем фактом, что после возобновления A* (0строка 14),0структура графа <tex>P(G)</tex> может измениться. Следовательно нам необходимо обновить <tex>P(G)</tex>(строка 15), как мы будет широко обсуждать в разделе 4.5. Это требует последующую проверку статуса Дейкстры. Мы должны быть уверены, что Дейкстра поддерживает согласованное состояние после изменений в <tex>P(G)</tex>. K* предусматривает условие, которые управляет решением, когда остановить A*, которое мы назовем ''условие расширения''. Для того, чтобы поддерживать аналогичную асимптотическую сложность как у EA и LVEA, мы должны определить условие расширения так, чтобы A* выполнялся пока количество рассмотренных вершин и количество внутренних ребер удваивается или <tex>G</tex> полностью исследован. Мы обсудим эту проблему несколько подробнее позже. В качестве полезного свойства, K* позволяет другое определения этого условия, которое может быть более эффективным на практике.В обратную сторонунаших экспериментах в разделе 6, пусть мы определили условие расширения так, что количество рассмотренных вершин или количество рассмотренных ребер ребер возрастает на 20% при каждом запуске A*. Этот механизм планирования включен до тех пор, пока A* не закончит исследовать весь граф <tex>G</tex>. Как только A* исследует весь граф <tex>G</tex>(xстрока 9), механизм планирования отключается и в дальнейшем работает только алгоритм Дейкстры. Строки 18-22 представляют обычный шаг рассмотрения узла алгоритмом Дейкстры. Отметим, что когда successor-узел <tex>n'</tex> сгенерирован, K* не проверяет был ли <tex>n'</tex> уже посещен до этого. Другими словами, y) \in P \oplus (каждый раз, когда узел генерируется, он рассматривает как новый. Эта стратегия обоснована на наблюдении, что путь s-t может содержать одно и то же ребро несколько раз. Строка 24 добавляет следующий путь <tex>s-t</tex> в результирующее множество R. Это делается путем конструирования последовательности запасных ребер <tex>seq(0\sigma)</tex> из пути <tex>\sigma</tex>, через которые Дейкстра достигла узла <tex>n</tex>, который был только что рассмотрен. Алгоритм завершается,0когда в результирующее множество добавлено <tex>k</tex> последовательностей запасных ребер (строка 25). == 4.5 Взаимосвязь алгоритмов Дейкстры и A* ==Тот факт, что оба алгоритма A* и Дейкстры делят между собой граф путей <tex>P(G)</tex>, тогда существуют точки вызывает обеспокоенность в отношении правильности работы Дейкстры на <tex>P(r_x , r_yG) \in R</tex>. Возобновление A* приводит к изменениям в структуре <tex>P(0G)</tex>. Таким образом, после возобновления A*, 0мы обновляем <tex>P(G)</tex> и проверяет статус поиска Дейкстры (строка 15). В основном, A* может добавить новые узлы, менять <tex>\delta</tex>-значения существующих узлов или даже удалять узлы. A* может также существенно изменять дерево поиска <tex>T</tex>, которое будет в худшем случае разрушать структуру все деревянных куч <tex>H_{T}</tex>. Эти изменения могут приводить к глобальной реструктуризации или даже перестроению <tex>P(p_x , p_yG) \in </tex> с нуля. В худшем случае это может сделать предыдущие поиски Дейкстры на <tex>P(G)</tex> такиебесполезными таким образом, что нам придется перезапускать алгоритм Дейкстры с нуля. Если использованная эвристическая оценка допустимая, то наше положение лучше. Нам по-прежнему может понадобится перестроение <tex>P(xG)</tex>, но мы покажем, yчто это перестроение не мешает корректности поиска Дейкстры на <tex>P(G) = </tex>. Другими словами, мы не теряем результаты, до сих пор полученные поиском Дейкстры. В случае монотонной эвристической оценки мы даже не нуждаемся в восстановлении или перестроении <tex>P(p_x G)</tex>. Если <tex>h</tex> монотонная, то дерево поиска A* является деревом кратчайшего пути для всех раскрытых вершин. Следовательно, g-значения раскрытых вершин не меняются. Это означает, что <tex>\delta</tex>- r_x значения для внутренних ребер никогда не изменятся. Ребра дерева раскрытых вершин не изменятся также. Следовательно, p_y обновление <tex>\delta</tex>-значений, heaping-up, heaping-down (операции в кучах) или удаление узлов не влекут за собой каких- r_yлибо изменений в <tex>P(G)</tex>. Только добавление новых узлов приводит к изменениям в <tex>P(G)</tex> . Следовательно, восстановление или глобальное перестроение не требуется в данном случае. В оставшейся части этого раздела, мы сначала покажем, что корректность поиска Дейкстры на <tex>P(p_x G)</tex> поддерживается в случае допустимой эвристической оценки. После этого мы покажем, p_yчто изменения в <tex>P(G) </tex> могут помешать завершенности поиска Дейкстры независимо от того, является ли эвристика допустимой или даже монотонной. Следовательно, мы предложим механизм для её поддержания. Мы фокусируемся дальше на корректности поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex> в случае допустимой эвристической оценки. Сначала, мы заявляем, что если <tex>h</tex> допустимая, то узлы исследованной части <tex>P(G)</tex> не поменяют свои <tex>\delta</tex>-значения. {{Лемма|about=6|statement= Пусть <tex>n</tex> будет произвольным узлов в <tex>P(G)</tex> и пусть <tex>(x + r_x u, y + r_yv)</tex>будет ребром, а это означаетсвязанным с <tex>n</tex>. Если <tex>h</tex> допустимая функция, что то значение <tex>R\delta(xu, yv)</tex> пересекает никогда не изменится после того, как <tex>Pn</tex>будет рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...

ДопустимИз леммы 6 мы может вывести следующее следствие. {{Лемма|about=следствие 3|statement=Пусть <tex>n</tex> будет произвольным узлом в <tex>P(G)</tex>. Если <tex>h</tex> допустимая функция, то <tex>n</tex> никогда не будет удален из <tex>P(G)</tex> после того, для простотыкак <tex>n</tex> был рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...}} Более того, мы докажем, что робот и все препятствия выпуклые, а позже обобщим для невыпуклых фигурструктура исследованной части <tex>P(G)</tex> не изменится. {{ТеоремаЛемма|about=7|statement=Пусть заданы две выпуклые фигуры <tex>n</tex> будет произвольным узлов в <tex>P(G)</tex> и . Если <tex>Rh</tex>допустимая функция, с числом вершин то <tex>n</tex> никогда не изменит свою позицию после того, как он был рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...}}  Леммы 6 и 7 обеспечивают, что изменения в <tex>P(G)</tex>, которые индуцируются A*, не влияют на часть <tex>mP(G)</tex> соответственно, которую алгоритм Дейкстры уже исследовал. Тогда суммой Минковского Это гарантирует корректность поиска Дейкстры на <tex>P \oplus R(G)</tex>, если используемая эвристика допустимая. Таким образом, каждый путь, который предоставляет алгоритм Дейкстры корректен и его длина действительна. Однако, это не обеспечивает завершенность поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex>. Возможно, что узел <tex>n'</tex> присоединяется к другом узлу n как ребенок, после раскрытия узла <tex>n</tex> является выпуклая фигура . В этом случае братья <tex>n'</tex> будут рассотрены до того, как <tex>n'</tex> станет ребенком n. Поэтому мы должны рассмотреть то, что было упущено во время поиска в связи с отсутствием <tex>n'</tex>. Мы добиваемся этого путем применения строк 20-22 к <tex>n'</tex> для каждого раскрытого направленного predecessor-а узла <tex>n'</tex>. Если <tex>n'</tex> ещё не более чем выполняет условие планирования, A* будет неоднократно возобновляться пока механизм планирования не допустит алгоритму Дейкстры положить <tex>m + n'</tex> вершинамив поисковую очередь. Заметим, что таким образом не требуется каких-либо дополнительных усилий во время типичного поиска Дейкстры.|proof=[[Файл:minkowski_extremeМы может быть уверены, что нерассмотренные узлы не будут принудительно опущены после применения операции heaping-up к <tex>n'</tex>. Иначе, мы могли бы иметь узел <tex>n''</tex>, который являлся бы ребенком n и впоследствии был бы заменен узлом <tex>n'</tex>. Заметим, что <tex>n''</tex> должен быть рассмотрен, поскольку <tex>n'</tex> был раскрыт. Однако, это противоречение к лемме 7, которая гарантирует, что этого не произойдет.png | right | 200px]]Для начала заметимБолее того, следующее следствие гарантирует, что любая крайняя точка в направлении вектора наилучшее <tex>d(n')</tex> не лучше, чем <tex>\vec{d}</tex> есть сумма крайних точек фигур -значение любой рассмотренной вершины, в этом направлениичастности, раскрытой вершины. Убедиться в этом можно спроецировав обе фигуры на вектор Это означает, что мы не упустим возможность раскрыть <tex>\vec{d}n'</tex>.

Теперь рассмотрим произвольное ребро {{Лемма|about=следствие 3|statement=Пусть <tex>en</tex> из будет узлом в <tex>P \oplus R(G)</tex>, который был раскрыт Дейкстрой. Оно является крайним в направлении к своей нормалиКроме того, а значит оно образовано крайними точками фигурпусть <tex>m</tex> будет узлом, и хотя бы у одной из фигур должно быть ребро, которое является крайним который заново добавляется в этом направлении. Сопоставим <tex>eP(G)</tex> с этим ребром. Тогда сопоставив таким образом всем ребрам или его позиция изменена, после того как <tex>P \oplus Rn</tex> ребра исходных фигур, получаем что всего ребер в был раскрыт. Если <tex>P \oplus Rh</tex> не более чем допустимая, тогда выполяется следующее:<tex>C_{P(G)}(R,m + ) >= d(n)</tex>, так как каждое ребро исходных фигур использовалось не более раза|proof=...

== Псевдокод 4.6 Пример == i = j = 0 V[n] = V[0], V[n+1] = V[1], W[n] = W[0], W[n+1] = W[1] while i Мы проиллюстрируем работу алгоритма K* следующим примером. Мы будем рассматривать ориентированный взвешанный граф G на рисунке 7. Стартовой вершиной будет называться <tex>s_0</tex> и конечной вершиной - <tex>s_6< n or j /tex>. Нас интересует поиск 9 лучших путей из < m do add V[i]+W[j] to answer if angle(V[i], V[i+1]) tex>s_0< angle(W[j], W[j+1]) ++i else if angle(V[i], V[i+1]) /tex> angle(W[j], W[j+1]) ++j else ++i, ++jЗдесь множества точек в <tex>Vs_6</tex> и . Для достижения этой цели мы применим алгоритм K* к <tex>WG</tex> отсортированы в порядке обхода против часовой стрелки. Предположим, причем первым элементом что эвристическая оценка существует. Значения эвристики даны в обоих массивах является самая левая нижняя точка множествапометках c <tex>h(s_0)</tex> по <tex>h(s_6)</tex> на рисунке 7. Функция angle возвращает значение полярного угла вектораЛегко заметить, заданного ее аргументамичто эвристическая функция допустима.

Корректность алгоритма следует из доказательства предыдущей теоремыПервый раз A* делает итерации на графе <tex>G</tex> до тех пор, пока не будет найдена вершина <tex>s_6</tex>. Часть графа <tex>G</tex>, которая уже была рассмотрена иллиюстрируется на рисунке 8. Ребра, изображенные сплошными линиями, обозначают ребра дерева, а в то время работы равно , как все остальные - запасные ребра. Они будет храниться в кучах <tex>H_{in}</tex>, показанных на рисунке 9. Номера, присвоенные узлах кучи, соответствуют <tex>\delta</tex>-значениям. На этом этапе поиска A* приостановлен и <tex>P(G)</tex> построен. Первоначально, только назначенный корень <tex>R</tex> явно доступен в <tex>OP(n + mG)</tex>. Инициализируется алгоритм Дейкстры. Это означает, так как на каждой итерации хотя бы один из индексов что узел <tex>R</tex> добавляется в поискую очередь Дейкстры. Планировщику требуется доступ к successors К для того, чтобы решить следует ли возобновлять Дейкстру или A*. На данном этапе должна быть построена деревянная куча <tex>H_{T}(s_6)</tex>. Куча <tex>iH_{T}(s_4)</tex> и требуется для построения <tex>jH_{T}(s_6)</tex> увеличивается.== Случай невыпуклых фигур ==Для начала заметим следующий факт: Следовательно, строются деревянные кучи <tex>S_1 \oplus H_{T}(s_6)</tex>, <tex>H_{T}(S_2 \cup S_3s_4) = </tex>, <tex>H_{T}(S_1 \oplus S_2s_2) \cup </tex> и <tex>H_{T}(S_1 \oplus S_3s_0)</tex>. Результат показан на рисунке 10, где сплошные линии представляют кучные ребра и пунктирные линии показывают кросс-ребра. Во избежание путаницы на рисунке некоторые из ребер не полностью изображены. Мы указываем каждое из них, используя короткую стрелку с конретной целью.

В случаеПосле построения, как показано 10, планировщик проверяет только ребенка <tex>(s_4, s_2)</tex> узла <tex>R</tex> на предмет того, что <tex>g(s_6) + d(s_4,s_2) <= f(s_1)</tex>. Отметим, когда одна из фигур невыпуклачто <tex>s_1</tex> является головой поисковой очереди A*. Значение <tex>d(s_4, её сначала надо затриангулироватьs_2)</tex> равно 2, получив т.е. <tex>n-g(s_6) + d(s_4,s_2) = 7 + 2= 9 = f(s_1)</tex> треугольников. После этогоСледовательно, уже известным алгоритмомпланировщик позволяет Дейкстре раскрыть <tex>R</tex> и вставить <tex>(s_4, надо построить s_2)</tex>n-2в поисковую очередь. При раскрытии <tex>R</tex> выпуклых фигур с не более чем находится первый путь из ответа. Он строится из пути <tex>m+3P(G)</tex> вершинами, которые будут суммами Минковского соответствующих треугольниковсодержащего единственный узел <tex>R</tex>. Объединение этих выпуклых фигур будет состоять Этот путь приводит к пустой последовательности запасных ребер. Напомним, что пустая последовательность запасных ребер соответствует пути из <tex>Os_0</tex> в <tex>s_6</tex> в дереве поиска, а именно <tex>s_0s_2s_4s_6</tex> длиной 7. Затем поиск Дейкстры приостанавливается, потому что для successor-ов узла <tex>(s_4,s_2)</tex> не выполняется условие <tex>g(nms_6)+d(n)<=f(s_1)</tex> вершин. Следовательно, возобновляется A*.

В случаеМы предполагаем, когда обе фигуры невыпуклычто условие раскрытия определено как раскрытие одной вершины для того, обе эти фигуры надо затриангулироватьчтобы пример был простым и иллюстративным. Поэтому A* раскрывает <tex>s_1</tex> и останавливается. Исследованная часть <tex>G</tex> на текущем этапе показана на рисунке 11. Результат раскрытия приведет к обнаружению 2 новых запасных ребер <tex>(s_1, получив s_2)</tex>n-2и <tex>(s_1,s_6)</tex>, которые будут добавлены в <tex>H_{in}(s_2)</tex> и <tex>m-2H_{in}(s_6)</tex> треугольников соответственно. Построив суммы Минковского множеств этих треугольников получим Обновленные кучи <tex>H_{in}(n-2s_2)</tex> и <tex>H_{in}(s_6)</tex> представлены на рисунке 12. Другие кучи остаются неизменными, как на рисунке 9. Граф путей <tex>P(m-2G)</tex> выпуклых фигурперестаивается, объединение которых состоит из как показано на рисунке 13. Затем алгоритм Дейкстры возобновляется. Заметим, что поисковая очередь Дейкстры содержит только <tex>O(n^2m^s_4,s_2)</tex> с <tex>d = 2)</tex> вершинна этом моменте. Используя ручное выполнение мы можем легко увидеть, что Дейкстра будет выдавать в ответ пути, перечисленные в таблице 1.