Участник:Kir1251/Аксиомы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Список аксиом логики(просто для себя):== =Аксиомы системы исчисления высказываний= <tex> (1) (\...»)
 
Строка 1: Строка 1:
==Список аксиом логики(просто для себя):==
+
=Список аксиом логики(просто для себя):=
  
=Аксиомы системы исчисления высказываний=
+
==Аксиомы системы исчисления высказываний==
 
<tex>
 
<tex>
 
(1) (\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))\\
 
(1) (\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))\\
Строка 15: Строка 15:
 
</tex>
 
</tex>
  
=Аксиомы предикатов=
+
==Аксиомы предикатов==
 
<tex>
 
<tex>
 
(11) \forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha])\\
 
(11) \forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha])\\
Строка 21: Строка 21:
 
</tex>
 
</tex>
  
=Аксиоматика Пеано=
+
==Аксиоматика Пеано==
 
<tex>
 
<tex>
 
(A1) a = b \rightarrow a' = b' \\
 
(A1) a = b \rightarrow a' = b' \\
Строка 34: Строка 34:
 
</tex>
 
</tex>
  
=Аксиоматика теории групп=
+
==Аксиоматика теории групп==
 
<tex>
 
<tex>
 
(E1) a = b \rightarrow (a = c \rightarrow b = c)\\
 
(E1) a = b \rightarrow (a = c \rightarrow b = c)\\
Строка 42: Строка 42:
 
(G2) a \cdot 1 = a\\
 
(G2) a \cdot 1 = a\\
 
(G3)a \cdot a ^ {-1} = 1\\
 
(G3)a \cdot a ^ {-1} = 1\\
 +
</tex>
 +
 +
==Аксиоматика теории множеств==
 +
 +
===Аксиома равенства:===
 +
<tex>\forall x \forall y \forall z ((x = y \& x \in z) \rightarrow y \in z)</tex>
 +
===Аксиома пары:===
 +
<tex>\forall x \forall y (\neg x=y \rightarrow \exists p (x \in p \& y \in p \& \forall z (z \in p \rightarrow (z = x \vee z = y)))</tex>
 +
===Аксиома объединения===
 +
<tex>\forall x (\exists y y \in x \rightarrow \exists p \forall y (y \in p \leftrightarrow \exists s (y \in s \& s \in x)))</tex>
 +
===Аксиома степени===
 +
<tex>\forall x \exists p \forall y (y \subseteq p \leftrightarrow y \in x)</tex>
 +
===Аксиома выделения===
 +
<tex>\forall x \exists b \forall y (y \in b \leftrightarrow (y \in x \& \phi(y)))</tex>
 +
===Аксиома выбора===
 +
<tex>\forall a \forall b (b \in a \& \neg(a = \emptyset) \& \neg(b = \emptyset) \rightarrow \neg(\times a = \emptyset)
 +
===Аксиома бесконечности===
 +
<tex>\emptyset \in N \& \forall x(x \in N \rightarrow x\cup\{x\} \in N)</tex>
 +
===Аксиома фундирования===
 +
<tex>\forall x (x = \emptyset \vee \exists y (y \in x \& y \cap x = \emptyset))</tex>
 +
===Аксиома подстановки===
 +
 +
Если задана некоторая функция f, представимая в исчислении предикатов
 +
(то есть, есть предикат A, что f(x) = y тогда и только тогда,
 +
когда <tex>A(x,y) \& \exists ! z A(x,z)</tex>)
 +
то для любого множества Y существует множество f(Y) &mdash; образ
 +
множества Y при отображении f.

Версия 08:04, 15 января 2012

Список аксиом логики(просто для себя):

Аксиомы системы исчисления высказываний

[math] (1) (\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))\\ (2) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))\\ (3) (\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)\\ (4) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)\\ (5) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)\\ (6) (\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\ (7) (\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\ (8) ((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))\\ (9) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)\\ (10) \neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)\\ [/math]

Аксиомы предикатов

[math] (11) \forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha])\\ (12) (\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) \\ [/math]

Аксиоматика Пеано

[math] (A1) a = b \rightarrow a' = b' \\ (A2) a = b \rightarrow a = c \rightarrow b = c \\ (A3) a' = b' \rightarrow a = b \\ (A4) \neg a' = 0 \\ (A5) a + b' = (a+b)' \\ (A6) a + 0 = a \\ (A7) a \cdot 0 = a \\ (A8) a \cdot b' = a \cdot b + a \\ (A9) (\psi [x := 0]) \& \forall{x}((\psi) \rightarrow (\psi) [x := x']) \rightarrow (\psi)\\ [/math]

Аксиоматика теории групп

[math] (E1) a = b \rightarrow (a = c \rightarrow b = c)\\ (E2) a = b \rightarrow (a \cdot c = b \cdot c)\\ (E3) a = b \rightarrow (c \cdot a = c \cdot b)\\ (G1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\\ (G2) a \cdot 1 = a\\ (G3)a \cdot a ^ {-1} = 1\\ [/math]

Аксиоматика теории множеств

Аксиома равенства:

[math]\forall x \forall y \forall z ((x = y \& x \in z) \rightarrow y \in z)[/math]

Аксиома пары:

[math]\forall x \forall y (\neg x=y \rightarrow \exists p (x \in p \& y \in p \& \forall z (z \in p \rightarrow (z = x \vee z = y)))[/math]

Аксиома объединения

[math]\forall x (\exists y y \in x \rightarrow \exists p \forall y (y \in p \leftrightarrow \exists s (y \in s \& s \in x)))[/math]

Аксиома степени

[math]\forall x \exists p \forall y (y \subseteq p \leftrightarrow y \in x)[/math]

Аксиома выделения

[math]\forall x \exists b \forall y (y \in b \leftrightarrow (y \in x \& \phi(y)))[/math]

Аксиома выбора

[math]\forall a \forall b (b \in a \& \neg(a = \emptyset) \& \neg(b = \emptyset) \rightarrow \neg(\times a = \emptyset) ===Аксиома бесконечности=== \lt tex\gt \emptyset \in N \& \forall x(x \in N \rightarrow x\cup\{x\} \in N)[/math]

Аксиома фундирования

[math]\forall x (x = \emptyset \vee \exists y (y \in x \& y \cap x = \emptyset))[/math]

Аксиома подстановки

Если задана некоторая функция f, представимая в исчислении предикатов (то есть, есть предикат A, что f(x) = y тогда и только тогда, когда [math]A(x,y) \& \exists ! z A(x,z)[/math]) то для любого множества Y существует множество f(Y) — образ множества Y при отображении f.