Изменения

2) Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex> с <tex>k</tex> вершинами, множество вершин нового графа обозначим как <tex>W</tex>. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим новый граф <tex>H \; = \; K_k + G</tex>, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что <tex>\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; </tex>. Рассмотрим <tex>S \subset V_H\;</tex>.

Таким образом, для графа <tex>H</tex> выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе <tex>H</tex>, удалим вершины <tex>W</tex> из графа <tex>H</tex>. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин <tex>k</tex>, значит, <tex>def(G) \leq k</tex>. Удалим множество вершин <tex>A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) </tex> из графа <tex>G</tex>. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на <tex>k</tex> больше нечетных компонент, чем было удалено, значит, хотя бы <tex>k</tex> нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, <tex>k \leq def(G)</tex>. Значит, <tex>def(G) = k</tex>. Теорема доказана.

}}

==Источники информации==

[https://www.youtube.com/watch?v=1KggxCJZFRg {{---}} Лекция А.С. Станкевича]