Изменения
→Задача о разорении игрока
или
*<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p*\cdot p_{k+1,n}(t) + q*\cdot p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex> '''в формулах следует писать не *, а \cdot'''
Заметим, что:
Переходя к пределу в (2.1) при <tex>t → ∞</tex>, получим
<tex>\quad \quad p_{kn} = p*\cdot p_{k+1,n} + q*\cdot p_{k−1,n}</tex>
Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях
*<tex> \quad \quad p*\cdot f_{k+1} − f_{k} + q*\cdot f_{k−1} = 0 </tex> (2.2)
удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогична
Отсюда и из (2.3) находим
*<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k/}{(1 − (q/p)^n)}.</tex> '''Оформи дроби через \frac'''
Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (2.2). Но граничными
условиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим
<tex>\quad p_{k0} = \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)/}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>
Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет.
