Изменения

 Рассмотрим конечную цепь Маркова: <tex>\xi_txi_{t+1 } = \xi_t + \eta_t, \quad P\{\eta_t = 1|\xi_t 6= ≠ 0 ∨ \xi_t 6= ≠ n\} = p, \quad P\{\eta_t = −1|\xi_t 6= ≠ 0 ∨ \xi_t 6= ≠ n\} = q</tex>  и <tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex> По формуле полной вероятности: *<tex> \quad P\{\xi_{t+1} = n\} = P\{\xi_1 = k + 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k + 1\} + P\{\xi_{1} = k − 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k - 1\} </tex> или *<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p*p_{k+1,n}(t) + q*p{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1. </tex> Заметим, что: <tex> \quad \quad {\xi_1 = n} ⊂ {\xi_2 = n} ⊂ · · · ⊂ {\xi_t = n} ⊂ . . . </tex> Положим <tex>A =\cup_{t=1}^∞\{\xi_t = n\}</tex>. Тогда <tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex> Переходя к пределу в (1.8) при <tex>t → ∞</tex>, получим <tex>\quad \quad p_{kn} = p*p_{k+1,n} + q*p_{k−1,n}</tex> Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях <tex> \quad \quad p*f_{k+1} − f_{k} + q*f_{k−1} = 0 </tex> удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогичнатеории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda_k − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = q/p</tex>. Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (1.9). Линейная комбинация