Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом , предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

перемещается в точку <tex>k − 1</tex>. Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]:

==Вероятность смещения на d единиц вправо или (влево)==

Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает соответствует тому, что в начальный момент времени частица достоверно находилась в точке

Справедливо очевидное равенство:

схеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли ] с двумя исходами —- прыжком движением вправо, который мы будем называть успехом, и прыжком движением вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди

*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n.</tex> (1)

Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2)

откуда <tex>k = \frac{(n + d)/}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n </tex> прыжков,число прыжков вправо должно быть целым числом в интервале <tex>[0, n]</tex>, другими словами, <tex>P(\xi_n = m + d) = 0,</tex> если <tex>k = \frac{(n + d)/}{2 ∈ }, k \notin \{ / 0, 1, . . . , n\}</tex>. Если же указанноеограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1)<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>:

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d) / }{2 } </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

=== Энтропия нечестной монеты ==='''Замечания'''. Найдем энтропию для [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностного пространства]] нечестная монета с [[Схема Бернулли| распределением Бернулли]] <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \{0,2; 0,8leq k \}leq n </tex>::по формуле <tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{id =1}^{n} p_i \log_2p_i = -0.2\log_2· k + (0.2−1)-0.8\log_2· (0.8n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \approx 0leq n</tex>.722 Это можно понять и без расчётов: если < 1 tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex>шагов.

<tex>2)</tex> При своём движении частица случайным образом выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки <tex>m</tex> в точку <tex>m</tex> за <tex>n</tex> шагов возможными являются все те и только те траектории длины <tex>n</tex>, в которых ровно <tex>k</tex> смещений вправо и <tex>n − k</tex> смещений влево, где <tex>k =\frac{(n + d)}{2}</tex>. Равенство <tex>P = Ограниченность энтропии =={C_{n}^k} p^k q^{Теоремаn−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из |statement= возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>0 \leqslant H(p_1, p_2и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, \dotsтаким образом, p_n) *<tex>P = p^k \leqslant cdot q^{n−k}+...+p^k \log_2n cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>|proof =1) Докажем первую часть неравенства:

Так как == Задача о разорении игрока ==Пусть начальный капитал <tex> p_i\in[0,\;1]xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex>рублей, тогда а капитал второго игрока <tex dpi="140">\log_2\dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 – (n − k)</tex>рублей. Таким образом Первый игрок выигрываетили проигрывает рубль с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q</tex dpi="140"> H(p_1соответственно. Игра продолжается до тех пор, p_2покакапитал первого игрока не уменьшится до нуля, \dotsлибо не возрастет до <tex>n</tex>. Поглощение точки в правомконце отрезка <tex>[0, p_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i\log_2 \dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 ]</tex>соответствует выигрышу первого игрока.

2) Докажем вторую часть неравенстваРассмотрим конечную цепь Маркова:

<tex dpi>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t ="140"> f(x)1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t =−1|\xi_t ≠ 0 ∨ \log_2x xi_t ≠ n\} = q</tex> и  <tex>\quad P\{{---\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\}} выпуклая вверх функция, = 1. </tex> p_1,p_2,\ldots,p_n(2.1) Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>0t</tex> и есть <tex> p_{kn}(t) = P\sum {\limits_{ieta_t =1}^{n|\eta_0 = k\} p_i = 1 </tex>, тогда для нее выполняется неравенство Йенсена По формуле полной вероятности: *<tex dpi> \quad P\{\xi_{t+1} ="140"> n\sum} = P\limits_{i\xi_1 =k + 1|\xi_0 = k\}^P\{n} p_i f(\dfracxi_{t+1}= n|\xi_{p_i1}) = k + 1\leqslant f(} + P\sum{\limits_xi_{i1} =k − 1|\xi_0 = k\}^P\{\xi_{t+1} = n} (p_i \cdot|\dfracxi_{1}{p_i= k - 1\})) </tex>Таким образом получаем, что или *<tex> H\quad p_{kn}(p_1, p_2t + 1) = p \cdot p_{k+1, n}(t) + q \dotscdot p_{k−1, p_nn}(t) , \leqslant \log_2n quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex>}}Тогда из теоремы и доказанной выше леммы следуетТеорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что для : <tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n исходов энтропия максимальна, если они все равновероятны\} ⊂ . . .</tex>  Положим <tex>A =\cup_{t= Условная и взаимная энтропия =1}^∞\{\xi_t =n\}</tex>. Тогда <tex> \quad \quad p_{{Определение|definition kn} = '''Условная энтропия''' P(англ. ''conditional entropy''A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{---t\to\infty}p_{kn} определяет количество остающейся энтропии (то есть, остающейся неопределенностиt).</tex> Переходя к пределу в (2.1) события при <tex>At → ∞</tex> после того, получим <tex>\quad \quad p_{kn} = p \cdot p_{k+1,n} + q \cdot p_{k−1,n}</tex> Так как становится известным результат события <tex>Bp_{kn}</tex>. Она называется ''энтропия вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>Ap_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex> при условии . Рассматриваемая как функция от <tex>Bk</tex>'', и обозначается вероятность <tex>H(A|B)p_{kn}</tex>является решением уравнения в конечных разностях *<tex> \quad \quad p \cdot f_{k+1} − f_{k}+ q \cdot f_{k−1} = 0 </tex>H(A|B2.2) удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = - 0 \sum\limits_{iquad f_n =1}</tex>. Теория решения таких уравнений аналогичнатеории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^{m}k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p(b_i)\sumlambda^2 − \limits_{jlambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 =1, \lambda_2 = \frac{q}^{np} p</tex>. Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (a_j|b_i2.2). Линейная комбинация *<tex>\log_2pquad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (a_j|b_i2.3)  при любых <tex>C_1</tex>{{Определение|definition = '''Взаимная энтропия''' и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (англ2. ''joint entropy''3) {{---}} энтропия объединения двух событий , при <tex>Ak = 0</tex> и <tex>Bk = n</tex>. получим}}<tex> H(A \cap B) quad C_1 + C_2 = -0, \sumquad C_1 + (\limits_frac{q}{ip})^nC_2 =1}^.</tex> Отсюда и из (2.3) находим *<tex>\quad p_{mkn} = \sum\limits_frac{j=(1− q/p)^k}^{n} (1 − (q/p(a_j \cap b_i)\log_2p(a_j \cap b_i^n) }.</tex> Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{{Утверждениеk0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (2.2). Но граничными|statementусловиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим <tex> H(A \cap B) quad p_{k0} = H\frac{((A|Bq/p)+H^k − (Bq/p)=H^n)}{(1 − (B|Aq/p)^n)}.</tex> Так как <tex>p_{k0} +H(A) p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex>один из игроков выиграет.|proofПусть теперь <tex>p = q = По формуле условной вероятности 0.5</tex>. В этом случае <tex dpi>\lambda_1 = \lambda_2 ="130"1</tex> pи решение уравнения (a_j|b_i2.2)нужно искать в виде <tex>f_k =C_1 + kC_2 .</tex> С помощью граничных условий находим <tex>\dfracquad p_{p(a_j kn} = \frac{k}{n}, \quad p_{k0} = 1 − \cap b_i)frac{k}{p(b_i)n} .</tex>

<tex dpi="140"> = H(A \cap B) +\sum\limits_{iquad A_n =1}^{m} \log_2p(b_i)\sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i) = H(A exists t : \cap B) +quad \sum\limits_{i=1}^{m} \log_2p(b_i)p(b_i) xi_t = 0 </tex>, <tex dpi="140">H(A \cap B) - H(Bquad \forall t: \quad \xi_t ∈ [0, n) \}</tex>равна

Таким образом получаем, что: <tex> H\quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((A \cap Bq/p)= H^k − (A|Bq/p)+H^n)}{(B1 − (q/p) ^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5} \end{cases}</tex>

Аналогично: События <tex>A_n</tex> вложены последовательно друг в друга*<tex>H(B \cap A)= H(B|A)+H(A) quad A_1 ⊂ A_2 ⊂ · · · ⊂ A_n ⊂ . . . ,</tex>

*<tex>p_k =\lim_{n\to\infty}P(A) = См. также =\lim_{n\to\infty}p_{k0}=*[[Вероятностное пространство\begin{cases} (\frac{q}{p})^k, элементарный исход &\text{если q меньше p}\\1, событие|Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]&\text{если q≥p}*[[Условная вероятность|Условная вероятность]] \end{cases}</tex>

[[Категория: Теория вероятности ]]