Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом , предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

перемещается в точку <tex>k − 1</tex>. Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]:

==Вероятность смещения на d единиц вправо или (влево)==

Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает соответствует тому, что в начальный момент времени частица достоверно находилась в точке

Справедливо очевидное равенство:

схеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли ] с двумя исходами —- прыжком движением вправо, который мы будем называть успехом, и прыжком движением вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди

*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n.</tex> (1)

Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2)

откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n </tex> прыжков,

ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1)<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>:

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

Замечание'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (−1) · (2n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Этоможно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица «не успевает» не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласованои с (3): биномиальный коэффициент <tex>{C_{n}^k}</tex> не определён при <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Мыможем даже считать формулу (3) верной при любом <tex>k</tex>, если положим по определению<tex>C_{n}^k = 0 </tex> для <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Число шагов <tex>n</tex> и смещение <tex>d</tex> должны иметь какцелые числа одну чётность. Вероятность (32) не зависит от начального положения <tex>m</tex> и определяется только числом шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности) и смещением <tex>d</tex>.При своём движении частица случайным образом «выбирает» выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки

d)}{2}</tex>. Равенство (1) <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k*\cdot q^{n−k}+...+p^k*\cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex> == Задача о разорении игрока ==Пусть начальный капитал <tex>\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока <tex> – (n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрываетили проигрывает рубль с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q</tex> соответственно. Игра продолжается до тех пор, покакапитал первого игрока не уменьшится до нуля, либо не возрастет до <tex>n</tex>. Поглощение точки в правомконце отрезка <tex>[0, n]</tex> соответствует выигрышу первого игрока. Рассмотрим конечную цепь Маркова: <tex>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и  <tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> (2.1) Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex> По формуле полной вероятности: *<tex> \quad P\{\xi_{t+1} = n\} = P\{\xi_1 = k + 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k + 1\} + P\{\xi_{1} = k − 1|\xi_0 = k\}P\{\xi_{t+1} = n|\xi_{1} = k - 1\} </tex> или *<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p \cdot p_{k+1,n}(t) + q \cdot p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex> Теорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что: <tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex>  Положим <tex>A =\cup_{t=1}^∞\{\xi_t = n\}</tex>. Тогда <tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex> Переходя к пределу в (2.1) при <tex>t → ∞</tex>, получим <tex>\quad \quad p_{kn} = p \cdot p_{k+1,n} + q \cdot p_{k−1,n}</tex> Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях *<tex> \quad \quad p \cdot f_{k+1} − f_{k} + q \cdot f_{k−1} = 0 </tex> (2.2) удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогичнатеории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q}{p}</tex>. Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (2.2). Линейная комбинация

== Примеры ===== Энтропия честной монеты ===Рассмотрим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] {{---}} честная монета. Найдем для нее энтропию::*<tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = -\sum\limits_{iquad f_k =1}C_1λ^{2} {\dfrac{1}{2} \cdot \log_2 \dfrac{1}{2}} = -\sum\limits_{i=1}k_1 + C_2λ^{2} {\dfrac{1}{2} \cdot (-1)} = 1k_2</tex>Это означает что после броска честной монеты мы получим информацию в размере <tex>1</tex> бит, уменьшив степень неопределенности вдвое(2.3)

=== Энтропия нечестной монеты ===Найдем энтропию для [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностного пространства]] нечестная монета с [[Схема Бернулли| распределением Бернулли]] при любых <tex>\{0,2; 0,8\}C_1</tex>::и <tex>C_2</tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = -0также является решением.2\log_2Подставляя граничные условия в (0.2)-0.8\log_2(0.83) \approx , при <tex>k = 0.722 < 1 /tex> и <tex>k = n</tex>получим

== Ограниченность энтропии =={{Теорема|statement= <tex>\quad C_1 + C_2 = 0 , \leqslant Hquad C_1 + (p_1, p_2, \dots, p_nfrac{q}{p}) \leqslant \log_2n ^nC_2 = 1.</tex>|proof =1) Докажем первую часть неравенства:

Так как <tex> p_i\in[0,\;1]</tex>, тогда <tex dpi="140">\log_2\dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 </tex>Отсюда и из (2. Таким образом <tex dpi="140"> H(p_1, p_2, \dots, p_n3) = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i\log_2 \dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 </tex>находим

2*<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p) Докажем вторую часть неравенства:^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>

Вероятности выигрыша первым игроком <tex dpi="140"> fp_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (x2.2). Но граничнымиусловиями станут <tex>f_0 =\log_2x 1, f_n = 0.</tex> {{---}} выпуклая вверх функция, Определяя из этих условий <tex> p_1,p_2,\ldots,p_n>0C_1</tex> и <tex> \sum \limits_{i=1}^{n} p_i = 1 C_2</tex>, тогда для нее выполняется неравенство Йенсена:получим <tex dpi="140"> \sum\limits_quad p_{ik0} =1}^\frac{n} p_i f(\dfrac{1}{p_i}(q/p) \leqslant f^k − (\sum\limits_{i=1}q/p)^{n)} {(p_i \cdot\dfrac{1}{p_i}− (q/p)^n) }.</tex>Таким образом получаем, что Так как <tex> H(p_1, p_2, \dots, p_n) \leqslant \log_2n </tex>p_{k0}+ p_{kn}Тогда из теоремы и доказанной выше леммы следует, что для n исходов энтропия максимальна, если они все равновероятны.== Условная и взаимная энтропия =={{Определение|definition = '''Условная энтропия''' (англ. ''conditional entropy'') {{---}} определяет количество остающейся энтропии (то есть, остающейся неопределенности) события <tex>A1</tex> после того, как становится известным результат события то с вероятностью <tex>B1</tex>один из игроков выиграет. Она называется ''энтропия  Пусть теперь <tex>Ap = q = 0.5</tex> при условии <tex>B</tex>'', и обозначается <tex>H(A|B)</tex>}} . В этом случае <tex>H(A|B)= - \sum\limits_{ilambda_1 =1}^{m}p(b_i)\sum\limits_{jlambda_2 =1}^{n} p(a_j|b_i)\log_2p(a_j|b_i) </tex>{{Определение|definition = '''Взаимная энтропия''' и решение уравнения (англ2. ''joint entropy''2) {{---}} энтропия объединения двух событий нужно искать в виде <tex>Af_k = C_1 + kC_2 .</tex> и <tex>B</tex>. }}С помощью граничных условий находим <tex> H(A \cap B) = -\sum\limits_quad p_{ikn} =1}^{m} \sum\limits_frac{j=1k}^{n} p(a_j , \cap b_i)\log_2p(a_j \cap b_i) </tex>quad p_{{Утверждение|statementk0} = <tex> H(A 1 − \cap B) = H(A|B)+H(B)=H(B|A)+H(A) </tex>|proof= По формуле условной вероятности <tex dpi="130"> p(a_j|b_i)=\dfracfrac{p(a_j \cap b_i)k}{p(b_i)n} .</tex>

<tex dpi="140"> = H(A \cap B) +\sum\limits_{iquad A_n =1}^{m} \log_2p(b_i)\sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i) = H(A exists t : \cap B) +quad \sum\limits_{i=1}^{m} \log_2p(b_i)p(b_i) xi_t = 0 </tex>, <tex dpi="140">H(A \cap B) - H(Bquad \forall t: \quad \xi_t ∈ [0, n) \}</tex>равна

Таким образом получаем, что: <tex> H\quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((A \cap Bq/p)= H^k − (A|Bq/p)+H^n)}{(B1 − (q/p) ^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5} \end{cases}</tex>

Аналогично: События <tex>A_n</tex> вложены последовательно друг в друга*<tex>H(B \cap A)= H(B|A)+H(A) quad A_1 ⊂ A_2 ⊂ · · · ⊂ A_n ⊂ . . . ,</tex>

*<tex>p_k =\lim_{n\to\infty}P(A) = См. также =\lim_{n\to\infty}p_{k0}=*[[Вероятностное пространство\begin{cases} (\frac{q}{p})^k, элементарный исход &\text{если q меньше p}\\1, событие|Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]&\text{если q≥p}*[[Условная вероятность|Условная вероятность]] \end{cases}</tex>

[[Категория: Теория вероятности ]]