Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом , предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

перемещается в точку <tex>k − 1</tex>. Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]:

==Вероятность смещения на d единиц вправо или (влево)==

Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает соответствует тому, что в начальный момент времени частица достоверно находилась в точке

Справедливо очевидное равенство:

схеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли ] с двумя исходами —- прыжком движением вправо, который мы будем называть успехом, и прыжком движением вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди

*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n.</tex> (1)

Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2)

откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n </tex> прыжков,

ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1)<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>:

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

Замечание'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (−1) · (2n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Этоможно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица «не успевает» не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласованои с (3): биномиальный коэффициент <tex>{C_{n}^k}</tex> не определён при <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Мыможем даже считать формулу (3) верной при любом <tex>k</tex>, если положим по определению<tex>C_{n}^k = 0 </tex> для <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Число шагов <tex>n</tex> и смещение <tex>d</tex> должны иметь какцелые числа одну чётность. Вероятность (32) не зависит от начального положения <tex>m</tex> и определяется только числом шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности) и смещением <tex>d</tex>.При своём движении частица случайным образом «выбирает» выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки

d)}{2}</tex>. Равенство (1) <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k*\cdot q^{n−k}+...+p^k*\cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>

Обсудим блуждание на примере задачи о разорении. Пусть начальный капитал <tex>\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока – <tex>– (n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрывает

<tex>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и

и <tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex>(2.1)

*<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p*\cdot p_{k+1,n}(t) + q*p\cdot p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex>

ЗаметимТеорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что:

<tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex>

Переходя к пределу в (2.1.8) при <tex>t → ∞</tex>, получим

<tex>\quad \quad p_{kn} = p*\cdot p_{k+1,n} + q*\cdot p_{k−1,n}</tex>

*<tex> \quad \quad p*\cdot f_{k+1} − f_{k} + q*\cdot f_{k−1} = 0 </tex>(2.2)

Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda_k lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q}{p}</tex>. Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (2.2). Линейная комбинация *<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (2.3) при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (2.3), при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим <tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q}{p})^nC_2 = 1.</tex> Отсюда и из (2.3) находим *<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex> Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (2.2). Но граничнымиусловиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим <tex>\quad p_{k0} = \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)}{(1 − (q/p)^n)}.</tex> Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет. Пусть теперь <tex>p = q = 0.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения (2.2) нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex> С помощью граничных условий находим <tex>\quad p_{kn} = \frac{k}{n}, \quad p_{k0} = 1 − \frac{k}{n}.</tex> В схеме блуждания по целым точкам с поглощением только в нуле вероятность события <tex>\quad A_n = \{\exists t : \quad \xi_t = 0 </tex>, <tex>\quad \forall t: \quad \xi_t ∈ [0, n)\}</tex> равна <tex> \quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)}{(1 − (q/p)^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5} \end{cases}</tex> События <tex>A_n</tex>вложены последовательно друг в друга*<tex>\quad A_1 ⊂ A_2 ⊂ · · · ⊂ A_n ⊂ . . .,</tex> поэтому вероятность поглощения в нуле равна

Значит, функции *<tex>p_k = \lim_{n\to\infty}P(A) = \lim_{n\to\infty}p_{k0}=\begin{cases} (\lambda_1frac{q}{p})^k</tex> и <tex>, &\text{если q меньше p}\\1, &\text{если q≥p} \lambda_2^kend{cases}</tex> удовлетворяют уравнению (1.9). Линейная комбинация

[[Категория: Теория вероятности ]]