Изменения

Справедливо очевидное '''лишнее слово''' равенство:

схеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли] с двумя исходами —- движением вправо, который мы будем называть успехом, и движением вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. '''Лишнее предложение''' Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди

*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n</tex> (1) '''Это сумма? Если да, так и напиши'''

Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим '''лишнее слово''' уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2) '''(1) и (2) разным шрифтом. И такие собственные сноски тоже лучше делать кликабельными. Можно вынести их в отдельные разделы статьи'''

откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n </tex> прыжков, '''Тех'''

ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1)<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>: '''вот тут хочется кликнуть на (1)'''

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

Замечание'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (−1) · (2n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Этоможно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласованои с (3): биномиальный коэффициент <tex>{C_{n}^k}</tex> не определён при <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Мыможем даже считать формулу (3) верной при любом <tex>k</tex>, если положим по определению<tex>C_{n}^k = 0 </tex> для <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Число шагов <tex>n</tex> и смещение <tex>d</tex> должны иметь какцелые числа одну чётность. Вероятность (32) не зависит от начального положения <tex>m</tex> и определяется только числом шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности) и смещением <tex>d</tex>.При своём движении частица случайным образом выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки

d)}{2}</tex>. Равенство (1) <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k*\cdot q^{n−k}+...+p^k*\cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex> '''Хотелось бы чуть структурировать, выглядит, как стена текста. Оформить замечание в специальную сноску или в отдельный блок, выделить главное. Сейчас замечание выглядит важнее, чем факт, к которому оно приложено, а это не должно быть так'''

Обсудим блуждание на примере задачи о разорении. '''Лишнее предложение''' Пусть начальный капитал <tex>\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока '''поставь теховское тире''' – <tex>– (n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрывает

ЗаметимТеорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что:

<tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex> '''Это события? Не очень понятно, что ты имеешь ввиду'''

Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q/}{p}</tex>.

<tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q/}{p})^nC_2 = 1.</tex>

*<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex> '''Оформи дроби через \frac'''

Пусть теперь <tex>p = q = 1/20.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения (2.2) нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>

<tex>\quad A_n = \{\exists t : \quad \xi_t = 0 </tex> в некоторый момент времени , <tex>\quad \forall t</tex>, <tex>: \quad \xi_t ∈ [0, n)</tex> во все моменты <tex>t\}</tex> '''Лучше не писать текстом в математических объектах и не использовать математические объекты как сокращения в тексте. тут лучше ввести новую переменную и раскрыть её смысл вне системы'''равна

<tex> \quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)/}{(1 − (q/p)^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5}

*<tex>p_k = \lim_{n\to\infty}P(A) = \lim_{n\to\infty}p_{k0}=\begin{cases} (\frac{q/}{p})^k, &\text{если q меньше p}\\1, &\text{если q≥p}

* [http://math.csu.ru/new_files/students/lectures/teor_slych_proc/solovev_teor_slych_proc.pdf Конспект лекций по теории случайных процессов А.А. Соловьев]* Физический факультет МГУ им[https://cmp. Мphys.Вmsu. Ломоносова "ru/sites/default/files/02_RandomWalks.pdf Случайные блуждания"по прямой]