Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Участник:Mk17.ru

1647 байт добавлено, 22:36, 25 мая 2020
Задача о разорении игрока
Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (1.9). Линейная комбинация
 
<tex>f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (10)
 
при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (10), при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
 
<tex>C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (q/p)^nC_2 = 1.</tex>
 
Отсюда и из (10) находим
 
<tex>p_{kn} = (1 − q/p)^k/(1 − (q/p)^n).</tex>
 
Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (1.9). Но граничными
условиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим
 
<tex>p_{k0} = ((q/p)^k − (q/p)^n)/(1 − (q/p)^n).</tex>
 
Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет.
 
Пусть теперь <tex>p = q = 1/2</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения (1.9) нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>
 
С помощью граничных условий находим
 
<tex>p_{kn} = \frac{k}{n}, \quad p_{k0} = 1 − \frac{k}{n}.</tex>
 
В схеме блуждания по целым точкам с поглощением только в нуле вероятность события
 
<tex>A_n = \{\xi_t = 0</tex> в некоторый момент времени <tex>t</tex>, <tex>\xi_t ∈ [0, n)</tex> во все моменты <tex>t\}</tex>
равна
 
<tex> p_{k0} =
== Источники информации ==
Анонимный участник

Навигация