'''Сортировка подсчётомХеш-табли́ца''' {{---}} алгоритм сортировки целых чисел в диапазоне от <tex>0</tex> до некоторой константы <tex>k</tex>структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, работающий за линейное времяоперацию поиска и операцию удаления пары по ключу.
== Основная идея = Введение ===Основная идея состоит в том, чтобы для каждого элемента входного массива подсчитать количество элементов, меньших данногоСуществует два основных вида хеш-таблиц: ''с цепочками'' и ''открытой адресацией''. Эта информация будет указывать на позиции элементов в отсортированном массиве. Например, если для элемента <tex>xХеш-таблица содержит некоторый массив </tex> количество таких элементов будет <tex>42H</tex>, то <tex>x</tex> будет занимать <tex>43</tex>элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-ю позицию в отсортированном массиве. Если элементы могут иметь одинаковые значения, то необходимо модифицировать алгоритм, так как нельзя разместить все такие элементы в одну позициютаблица с цепочками).
== Простой алгоритм ==Это простейший вариант алгоритма. Создать вспомогательный массив <tex>C[0Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа..k Хеш- 1]</tex>, состоящий из нулей, затем последовательно прочитать элементы входного массива <tex>A</tex> и для каждого код <tex>A[i]= h(key)</tex> увеличить играет роль индекса в массиве <tex>C[A[i]]H</tex> на единицу. Теперь достаточно пройти по массиву <tex>C</tex> и для каждого <tex>number \in \{0, ...а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, k - 1\}</tex> в массив <tex>A</tex> последовательно записать число <tex>number\</tex> <tex> C[number]</tex> разудаление или поиск).<code> SimpleCountingSort for number = 0 to k - 1 C[number] = 0; for i = 0 to length[A] - 1 C[A[i]] = C[A[i]] + 1; pos = 0; for number = 0 to k - 1 for i = 0 to C[j] - 1 A[pos] = number; pos = pos + 1;</code>
== Устойчивый алгоритм ==В этом варианте помимо входного массива Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения. При вставке в хеш-таблицу размером 365 ячеек всего лишь 23-х элементов вероятность коллизии превышает 50%<texref>A</tex> потребуется два вспомогательных массива — <tex>C[0..k p(n) = 1 - 1 \cdot \left(1-\frac{1}{len}\right) \cdot \left(1- \frac{2}{len}\right) \cdots \left(1]</tex> для счётчика и <tex>B[0..-\frac{n - 1]}{len}\right) = { len \cdot len-1 \cdots (len-n+1) \over len^n } </tex> для отсортированного массива. Сначала следует заполнить массив <tex>C= { len! \over len^n \cdot (len-n)!},</tex> нулями, и для каждого <texbr>A[i]где </tex> увеличить <tex>C[A[i]]n</tex> на 1. Далее подсчитывается число {{---}} количество элементов меньше или равных текущему. Для этого каждый <tex>C[number]</tex>в хеш-таблице, начиная с а <tex>C[1]len</tex>, увеличивают на <tex>C[number {{--- 1]</tex>}} её размер. На последнем шаге алгоритма читается входной массив с конца и в каждый <tex>B[C[A[i]]]</texref> записывается (при равномерном распределении значений хеш-функции)<texref>A[i]<http:/tex>, а значение <tex>C[A[i]]</tex> уменьшается на 1ru. Алгоритм устойчивwikipedia. Устойчивость может потребоваться при [[Сортировка_подсчетом_сложных_объектов|сортировке сложных структур данных]]. <code> StableCountingSort for number = 0 to k - 1 C[number] = 0; for i = 0 to length[A] - 1 C[A[i]] = C[A[i]] + 1; for number = 1 to k org/wiki/Парадокс_дней_рождения Парадокс дней рождения {{- 1 C[j] = C[j] + C[j - 1]; for i = length[A] - 1 to 0 B[C[A[i]]] = A[i]; C[A[i]] = C[A[i]}} Википедия] - 1;</coderef>. Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.
== Обобщение на произвольный целочисленный диапазон ==Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если диапазон значений (min и max) все ключи элементов известны заранее не известен, либо меняются очень редко, то можно воспользоваться линейным поиском min и maxподобрать хеш-функцию, с помощью которой, что не повлияет на асимптотику алгоритмавсе ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. При работе Это хеш-таблицы с массивом ''прямой адресацией''; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за <tex>C</tex> из <tex>A[i]O(1)</tex> необходимо вычитать min, а при обратной записи прибавлять.
== Анализ ==В первом алгоритме первые два цикла работают за Если мы поделим число хранимых элементов на размер массива <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственно; двойной цикл за <tex>\Theta(n + k)H</tex>. Во втором алгоритме циклы занимают <tex>\Theta(kчисло возможных значений хеш-функции)</tex>, <tex>\Theta(n)</tex>, <tex>\Thetaто узнаем коэффициент заполнения хеш-таблицы (k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственноангл. Итого оба алгоритма имеют линейную временную трудоёмкость <tex>\Theta(n + k''load factor'')</tex>. Используемая память в первом алгоритме равна <tex>\Theta(k)</tex>, а во втором <tex>\Theta(n + k)</tex>От этого параметра зависит среднее время выполнения операций.
Использование сортировки подсчётом целесообразно=== Хеширование === '''Хеширование''' {{---}} класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за <tex>O(1)</tex>). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, когда диапазон возможных что количество значений входных хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных достаточно мал по сравнению с количеством , поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.{{Определение|id=def1|definition=<tex>U </tex> {{---}} множество объектов (универсум).<br> <tex>h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 ... m - 1 \mathcal {g}</tex> {{---}} называется хеш-функцией, где множество <tex>S</tex> хранит ключи из множества <tex>U</tex>.<br> Если <tex>x \in U</tex> значит <tex>h(x) \in S</tex> <br> '''Коллизия:''' <tex>\exists x \neq y : h(x) = h(y)</tex>}}==== Виды хеширования ====* По способу хранения:** Статическое {{---}} фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов.** Динамическое {{---}} добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов .* По виду хеш-функции:** Детерминированная хеш-функция.** Случайная хеш-функция. === Свойства хеш-таблицы === На поиск элемента в хеш-таблице в сортируемом множествехудшем случае, может потребоваться столько же времени, напримеркак и в списке, если а именно <tex>\Theta(n = 1000000)</tex>, но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях математическое ожидание времени поиска элемента в хеш-таблице составляет <tex>O(1)</tex>. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время <tex>O(1)</tex>.При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо [[Перехеширование. Амортизационный анализ|перехешировать]] таблицу: увеличить размер массива <tex>H</tex> и заново добавить в новую хеш-таблицу все элементы натуральные числа меньшие пары. == Разрешение коллизий == === Разрешение коллизий с помощью цепочек ===[[Файл:open_hash.png|thumb|380px|right|Разрешение коллизий при помощи цепочек.]]Каждая ячейка <tex>i</tex> массива <tex>H</tex> содержит указатель на начало списка всех элементов, хеш-код которых равен <tex>i</tex>, либо указывает на их отсутствие. Коллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента. Время, необходимое для вставки в наихудшем случае равно <tex>1000O(1)</tex>. Это операция выполняет быстро, так как считается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице, но если потребуется, то перед вставкой мы можем выполнить поиск этого элемента. Время работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время работы алгоритма поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex>плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов. Удаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, как и вставка, при использовании двухсвязного списка. === Линейное разрешение коллизий ===[[Файл:close_hash.png|thumb|380px|right|Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.]]Все элементы хранятся непосредственно в хеш-таблице, без использования связных списков. Эффективность алгоритма падаетВ отличии от хеширования с цепочками, при использовании этого метода может возникнуть ситуация, когда необходимо сортировать различные хеш-таблица окажется полностью заполненной, следовательно будет невозможно добавлять в неё новые элементы. Так что при возникновении такой ситуации решением может быть динамическое увеличение размера хеш-таблицы, с одновременной её перестройкой. Рассмотрим один из таких методов.<ref>Другой метод борьбы с коллизиями {{---}} [[Двойное хеширование | двойное хеширование]]</ref> В массиве <tex>H</tex> хранятся сами пары ключ-значение. Алгоритм вставки элемента проверяет ячейки массива <tex>H</tex> в заданном порядке до тех пор, пока не будет найдена первая свободная ячейка, попавшие в одну неё и будет записан новый элемент. Это позволяет сэкономить память на хранение указателей. Последовательность, в которой просматриваются ячейки хеш-таблицы, называется последовательностью проб. В общем случае, она зависит только от ключа элемента, то есть это последовательность <tex>h_0(x)</tex>, <tex>h_1(x)</tex>, ...,<tex>h_n</tex><tex>_-</tex><tex>_1</tex><tex>(x)</tex>, где <tex>x</tex> — ключ элемента, а <tex>h_i(x)</tex> — произвольные функции, сопоставляющие каждому ключу ячейкув хеш-таблице.Первый элемент в последовательности, как правило, равен значению некоторой хеш-функции от ключа, а остальные считаются от него каким-нибудь способом. Для успешной работы алгоритмов поиска последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.<ref>[[Поиск свободного места при закрытом хешировании | Поиск свободного места при закрытом хешировании]]</ref> == Примечания ==<references/>
== Источники ==
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г. {{---}} 824 стр. {{---}} ISBN 0-201-89685-0* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Сортировка_подсчётом Сортировка подсчетом Хеш-таблица Хеш-таблица {{---}} Википедия]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:СортировкаХеширование]]
