Простейшие методы синтеза схем из функциональных элементов

Материал из Викиконспекты
(перенаправлено с «Участник:NikitaMarkovnikov»)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Синтезом схемы из функциональных элементов называется процедура получения логической схемы, реализующей заданную логическую функцию.


Приведем несколько простейших алгоритмов синтеза схем, реализующих произвольную функцию от [math] n [/math] аргументов [math] f(x_{1}, \ldots, x_{n}) [/math], в случае когда базис [math] B = \{\neg, \lor, \land\} [/math].

Метод синтеза, основанный на совершенной ДНФ[править]

Лемма (1):
Любой конъюнкт в СДНФ можно представить не более, чем [math] 2n-1 [/math] элементами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис 1. Схема для [math] \bar{x}_{1}\wedge x_{2}\wedge x_{3} \wedge \bar{x}_{4}[/math]. Сложность построенной схемы [math]size_{B}(f)=2+3=5\leqslant 7[/math].

Построим данную схему следующим образом: если [math] i [/math]-й множитель равен [math] \bar{x}_{i} [/math], то присоединяем к выходу [math] i [/math] элемент отрицания и последовательно присоединяем к элементу конъюнкции, иначе просто присоединяем к "свободному" входу элемента конъюнкции.

Очевидно, что сложность построенной схемы [math] size_{B}(f)= n+n-1 = 2n-1 [/math].

Поэтому [math] size_{B}(f)\leqslant 2n-1 [/math].

Приведем пример для [math] f=\bar{x}_{1}\wedge x_{2}\wedge x_{3} \wedge \bar{x}_{4}[/math] (рис. 1).
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (1):
Для любой функции [math] f(x_{1}, \ldots, x_{n}) [/math] имеет место неравенство [math] size_{B}(f)\leqslant n2^{n+1} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 2

Пусть [math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) [/math] — произвольная булева функция.

Если [math] f = 0 [/math], то схема строится в соответствии с представлением [math] 0=x_{1}\wedge\overline{x}_{1} [/math], то есть [math] size_{B}(0) \leqslant 2[/math].

Если [math] f \ne 0 [/math], то [math] f [/math] может быть задана дизъюнктивной нормальной формой

[math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) = K_{1} \vee K_{2} \vee \ldots \vee K_{s} [/math],

где [math] s \leqslant 2^{n} [/math] и каждая конъюнкция имеет вид

[math] K_{j}=x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge \ldots \wedge{x}_{i} [/math]

Схема [math] S [/math] для [math] f [/math] состоит из конъюнкций [math] K_{j} [/math] (каждая из них в соответствии с леммой 1 имеет сложность не более [math] 2n-1 [/math]) и цепочки из [math] s-1 [/math] элемента дизъюнкции с [math] s [/math] свободными входами. Свободные входы этой цепочки присоединяются к выходам схем для конъюнкций [math] K_{j} [/math].(рис. 2) Имеем

[math] size_{B}(f)\leqslant s\cdot(2n-1)+s-1 \lt s\cdot(2n-1)+s = 2ns \leqslant n2^{n+1} [/math].

Таким образом, для любой функции [math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) [/math] выполняется неравенство

[math] size_{B}(f(x_{1}, \ldots,x_{n}))\leqslant n2^{n+1} [/math].
Поэтому [math] size_{B}(f)\leqslant n2^{n+1} [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Метод синтеза, основанный на более компактной реализации множества всех конъюнкций[править]

Определение:
[math] f(n) \sim g(n) [/math] означает, что [math]f[/math] асимптотически эквивалентна [math]g[/math], то есть [math]\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)}{g(n)} = 1[/math]


Определение:
[math] f(n) \lesssim g(n) [/math] означает, что [math]\varlimsup\limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)}{g(n)} \leqslant 1[/math]


Определение:
Пусть есть булева функция от [math] n [/math] аргументов [math] f : \lbrace0, 1\rbrace^n \rightarrow \lbrace0, 1\rbrace [/math] и набор из [math] n [/math] булевых функций [math] g_1 \dotsc g_n [/math], таких что [math] g_i :\lbrace0, 1\rbrace^{m_i} \rightarrow \lbrace0, 1\rbrace [/math], где [math] i=1,\dotsc, n[/math]. Тогда системой булевых функций называется функция [math] S [/math] от всех аргументов функций [math] g_i[/math], которая определяется как [math] S(x_{11},\dotsc,x_{1(m_1)},x_{21},\dotsc,x_{2(m_2)}[/math] [math],\dotsc,x_{n1},\dotsc,x_{n(m_n)})[/math][math]=f(g_1(x_{11},\dotsc,x_{1(m_1)}),g_2(x_{21},\dotsc,x_{2(m_2)}),\dotsc,g_n(x_{n1},\dotsc,x_{n(m_n)}))[/math]

Примечание

Введем функцию

[math] x^{\sigma} = \begin{cases} x, \sigma =1;\\ \overline{x}, \sigma =0 \end{cases}[/math]

Лемма (2):
Пусть [math] K_{n}(\lbrace x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}} \rbrace^{2^n}_{i=1}) [/math] — система всех [math] 2^{n} [/math] конъюнкций [math] x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}[/math], где каждому [math] i [/math] соответствует свой набор [math] \lbrace \sigma_{1},\dotsc,\sigma_{n} \rbrace [/math], тогда для [math] K_{n} [/math] имеет место соотношение [math] size_{B}(K_{n}) \sim 2^n [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 3

Конъюнкции [math] x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}[/math] соответствуют функциям [math] g [/math] из определения функции,[math] K_{n} [/math] соответствует функции [math] S [/math], а конъюнкция функций [math] g [/math] соответствует функции [math] f [/math].

Заметим, что на вход схемы подается определенный набор аргументов [math] x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}} [/math], то есть на выходе схемы будет результат конъюнкции этих аргументов.

Разделим цепочки конъюнкций на две части. Каждая конъюнкция [math] x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}} [/math] может быть представлена в виде конъюнкции двух конъюнкций длины [math] k [/math] и [math] n-k [/math] ([math] k [/math] мы выберем позже):

[math] x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}} = (x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{k}^{\sigma_{k}})(x_{k+1}^{\sigma_{k+1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) [/math].

Поэтому схема для [math] K_{n} [/math] может быть образована из схем для [math] K_{k}(x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{k}^{\sigma_{k}}) [/math] и [math] K_{n-k}(x_{k+1}^{\sigma_{k+1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}}) [/math] и системы из [math] 2^n [/math] элементов конъюнкции, осуществляющих вышеприведенную операцию, как показано в теореме 1 (рис. 3). Левая часть схемы считает конъюнкцию переменных [math] x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{k}^{\sigma_{k}} [/math], а правая часть - переменных [math] x_{k+1}^{\sigma_{k+1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}}[/math]. Следовательно,

[math] size_{B}(K_{n}) \leqslant size_{B}(K_{k}) + size_{B}(K_{n-k}) + 2^n [/math].

Так как по теореме 1 [math] size_{B}(K_{k}) \leqslant k2^{k+1} [/math] , [math] size_{B}(K_{n-k}) \leqslant (n-k)2^{n-k+1} [/math],то

[math] size_{B}(K_{n}) \leqslant k2^{k+1} + (n-k)2^{n-k+1} + 2^n [/math].

Положим [math] k=[\dfrac{n}{2}][/math]. Тогда [math] k \leqslant \dfrac{n}{2} [/math], [math] n-k \leqslant \dfrac{n}{2}+1 [/math] и

[math] size_{B}(K_{n}) \leqslant \dfrac{n}{2}2^{\dfrac{n}{2}+1} + (\dfrac{n}{2}+1)2^{\dfrac{n}{2}+2} + 2^n =2^n+O(n2^{\dfrac{n}{2}})[/math].

С другой стороны, при [math] n \geqslant 2 [/math] каждая конъюнкция реализуется на выходе некоторого элемента, то есть при [math] n \geqslant 2 [/math] выполняется неравенство [math] size_{B}(K_{n}) \geqslant 2^{n} [/math]. Таким образом,

[math] size_{B}(K_{n}) \sim 2^n [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (2):
Для любой функции [math] f(x_{1}, \ldots, x_{n}) [/math] имеет место соотношение [math] size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
В верхней части схемы рис.2 все подсхемы, вычисляющие конъюнкции, заменили на [math]K_n[/math]

Пусть [math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) [/math] — произвольная булева функция, [math] f \ne 0 [/math]. Заменим в схеме (рис. 2) верхнюю часть схемы, реализующую конъюнкции [math] K_{1} \vee K_{2} \vee \ldots \vee K_{s} [/math], схемой, реализующей все конъюнкции из [math] K_{n} [/math]. Тогда для любой такой функции [math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) [/math] (не равной нулю) имеем

[math] size_{B}(f) \leqslant size_{B}(K_{n})+s-1 \leqslant size_{B}(K_{n})+2^{n}-1 \lesssim 2^{n+1} [/math]

Таким образом,

[math] size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1}. [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Метод синтеза схем К.Э.Шеннона [1][править]

Теорема (3):
Для любой функции [math] f(x_{1}, \ldots, x_{n}) [/math] имеет место соотношение [math] size_{B}(f)\lesssim 12\dfrac {2^{n}}{n} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 4

Пусть [math] f(x_{1}, \ldots,x_{n}) [/math] — произвольная булева функция. Рассмотрим разложение [math] f [/math] по переменным [math] x_{1}, \ldots,x_{m} [/math], где [math] 1 \leqslant m \leqslant n [/math]:

[math]f(x_{1}, \ldots,x_{n})=\displaystyle\bigvee_{(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m})}x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}\wedge f(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m},x_{m+1},\dotsc,x_{n}) [/math].

Схема для функции [math] f [/math] строится из трех подсхем: [math] S_{1},S_{2},S_{3} [/math]. (рис. 4)

1. Система [math] K_{m} (x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{m}^{\sigma_{m}}) [/math] содержит всевозможные конъюнкции [math]x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}[/math]. И схема [math] S_{1} [/math] реализует все эти конъюнкции. В силу леммы 2 выполняется неравенство
[math] size_{B}(S_{1}) \leqslant size_{B}(K_{m}) \lesssim 2^{m} [/math].
2. Схема [math] S_{2} [/math] реализует систему [math] F(x_{m+1}^{\sigma_{m+1}}, \ldots,x_{n}^{\sigma_{n}}) [/math] всех булевых функций от всевозможных наборов переменных [math] x_{m+1}, \ldots,x_{n} [/math]. Другими словами, подсхема [math] S_{2} [/math] вычисляет все булевы функции, зависящие от последних [math] n - m [/math] переменных. В силу теоремы 1
[math] size_{B}(S_{2}) \leqslant (n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} [/math].
3. Схема [math] S_{3} [/math] производит "сборку" в соответствии с разложением функции [math] f [/math]: для каждого набора [math] \widetilde{\sigma}=(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m}) [/math] реализуется конъюнкция
[math] x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}\wedge f(\widetilde{\sigma},x_{m+1},\dotsc, x_{n}) [/math] ([math] 2^{m} [/math] элементов конъюнкции) и образуется дизъюнкция таких конъюнкций ([math] 2^{m}-1 [/math] элементов дизъюнкции).

Поэтому выполняется неравенство [math] size_{B}(S_{3}) \leqslant 2^{m} +2^{m} -1 [/math]. Таким образом,

[math] size_{B}(f) \leqslant size_{B}(S_{1})+size_{B}(S_{2})+size_{B}(S_{3}) \lesssim 3 \cdot 2^{m} +(n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} [/math].

Положим [math] k=n-m [/math]. Тогда

[math] size_{B}(f) \lesssim 3 \cdot 2^{n-k} +k2^{k+1}2^{2^{k}} [/math].

Заметим, что второе слагаемое "очень быстро" растет с ростом [math] k [/math], а первое слагаемое убывает с ростом [math] k [/math] медленней. Поэтому следует взять такое значение [math] k [/math], при котором первое и второе слагаемые приблизительно равны, и потом немного уменьшить [math] k [/math]. Тогда второе слагаемое "сильно" уменьшится, а первое "не очень сильно" возрастет. Возьмем, например, [math] k=\log_{2}n [/math]. Тогда

[math] 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \dfrac{2^{n}}{n} [/math],
[math] k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=\log_{2}n\cdot (2n)\cdot 2^{n}[/math],

то есть получили "слишком много". Возьмем [math] k [/math] на единицу меньше: [math] k=\log_{2}n-1 [/math]. Тогда

[math] 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \dfrac{2^{n}}{n} \cdot 2 [/math],
[math] k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=(\log_{2}n-1)\cdot n\cdot 2^{\dfrac{n}{2}}[/math].

Вспомним теперь, что [math] k [/math] должно быть целым числом, и положим [math] k=[\log_{2}n-1] [/math]. Тогда [math] n-k \lt n- \log_{2} + 2[/math],

[math] 3 \cdot 2^{n-k} \lt 12 \cdot \dfrac {2^{n}}{n} [/math],
[math] k\cdot 2^{k+1}\cdot 2^{2^{k}} \leqslant (\log_{2}-1)\cdot n\cdot 2^{\dfrac{n}{2}} [/math].

При этом выборе [math] k [/math] окончательно имеем

[math] size_{B}(n)\lesssim 12\dfrac {2^{n}}{n} [/math].
[math]\triangleleft[/math]


См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]

  • Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — 4-е изд. — М.: Высшая школа, 2003. — 384 с. — ISBN 5-06-004681-8