Участник:Quarter

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Распределение степеней вершин

Определение:
Распределение степеней вершин случайного графа - это функция [math]P(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi=x)[/math], то есть выражающая вероятность того, что вершина [math]\xi[/math] имеет степень [math]x[/math]. Другими словами, распределение степеней [math]P(k)[/math] графа определяется как доля узлов, имеющих степень [math]k[/math].


Пример:
Если есть в общей сложности [math]n[/math] узлов в графе и из них [math]n_k[/math] имеют степень [math]k[/math], то [math]P(k) = \frac{n_k}{n}[/math]. Другими словами, [math]P(k)[/math] равно вероятности того, что отдельно взятая вершина имеет степень [math]k[/math].


Утверждение:
Дан случайный граф [math]G(n, p)[/math] в биноминальной модели. Тогда для него распределение степеней вершин

[math] \begin{equation*} P(k) = {n-1 \choose k} p^k(1-p)^{n-1-k} \end{equation*} [/math]

[math]\triangleright[/math]
Действительно, если вероятность появления ребра [math]p[/math], то вероятность появления ровно [math]k[/math] рёбер у вершины равна [math]p^k(1-p)^{n-1-k}[/math](схема Бернулли). Таких наборов рёбер у одной вершины всего [math]{n-1 \choose k}[/math], откуда получаем искомое распределение.
[math]\triangleleft[/math]

Распределение максимальной степени вершин

Определение:
Распределение максимальной степени вершин случайного графа - это функция [math]Q(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi=x)[/math], то есть выражающая вероятность того, что максимальная степень вершины [math]\xi[/math] равна [math]x[/math].
Утверждение:
[math]Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=k+1}^{n} P(x))[/math]
[math]\triangleright[/math]

Будем выводить формулу для [math]Q(k)[/math] через распределение степеней вершин [math]P(k)[/math].

Максимальная степень вершины равна [math]k[/math] тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше [math]k[/math]. Таким образом, нужно посчитать вероятность события [math]A: \exists v\in G: \; deg(v) = k \;\&\; !\exists v\in G: \; deg(v) \gt x[/math].

[math]P(\exists v: \; deg(v) = k) = P(k)[/math]

[math]P(k)[/math] - вероятность того, что вершина имеет степень [math]k[/math]. Тогда вероятность того, что имеет одну из степеней [math]1...k[/math] - [math]\sum_{x=1}^{k}P(x)[/math]. Нам нужно обратное событие, при наступлении которого вершина имеет степень больше [math]k[/math]. Его вероятность равна [math]1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)[/math].

[math]P(!\exists v: \; deg(v) \gt k) = 1 - \sum_{x=1}^{k} P(x)[/math]

События независимы, поэтому получаем: [math]Q(k) = P(k) \cdot (1 - \sum_{x=1}^{k} P(x))[/math]
[math]\triangleleft[/math]