Изменения

|definition=Линейный код (англ. ''Linear code'') {{---}} [[Кодирование информации#Код | код фиксированной длины (блочный блоковый код)]], исправляющий ошибки, для которого любая линейная комбинация кодовых слов также является кодовым словом.}}

Линейные коды обычно делят на [[Кодирование информации#Код | блочные блоковые коды]] и свёрточные коды. Также можно рассматривать турбо-коды, как гибрид двух предыдущих.<ref>[https://archive.org/details/channelcodesclas00ryan/page/n21 William E. Ryan and Shu Lin (2009). Channel Codes: Classical and Modern. Cambridge University Press. p. 4. ISBN 978-0-521-84868-8.]</ref>

'''Весом''' кодового слова называют число его ненулевых элементов. '''Расстояние''' между двумя кодовыми словами {{---}} это определяется как [[Расстояние Хэмминга | расстояние Хэмминга]]. Расстояние <tex>d</tex> линейного кода {{---}} это минимальный вес его ненулевых кодовых слов или равным образом минимальное расстояние между всеми парами различных кодовых слов.  Линейный код длины <tex>n</tex>, ранга <tex>k</tex> и с расстоянием <tex>d</tex> называют <tex>[n,k,d]_q</tex>-кодом (англ. ''[n,k,d] code''). Параметр d в обозначении кода часто опускается, потому что через него не задается структура кода. В таком случае пишут просто <tex>[n,k]</tex>-код. В литературе встречается обозначение как в квадратных, так и в круглых скобках.<ref>[https://mmf.bsu.by/wp-content/uploads/2016/10/Line_code_code_seq.pdf В. А. Липницкий, Н. В. Чесалин — Линейные коды и кодовые последовательности: учеб.-метод. пособие для студентов мех.-мат. фак. БГУ. Минск: БГУ, 2008. — 41 с., стр. 6]</ref><ref>[https://scask.ru/h_book_tcod.php?id=2 Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — 744 с., стр. 17]</ref>

|definition=Порождающая матрица {{---}} это матрица, чьи столбцы формируют которой задают базис линейного кода.}}

Кодовое слово <tex>c</tex> принадлежит коду <tex>C</tex> тогда и только тогда, когда <tex>Hc^T \top = 0</tex> или, что то же самое, <tex>cH^T \top = 0</tex>.

== Кодирование и декодирование, примеры ==  Предположим, что имеется линия связи, по которой мы можем пересылать и принимать биты. В среднем какой-то известный процент переданных битов будет поврежден, ошибочен. Такая модель называется ''двоичным симметричным каналом''.  Блок из <tex>k</tex> символов сообщения <tex>u = u_1u_2{\ldots}u_k, u_i \in \{0, 1\}</tex> будет кодироваться в ''кодовое слово'' <tex>x = x_1x_2{\ldots}x_n, x_i \in \{0, 1\}</tex>, где <tex>n >= k</tex>; эти кодовые слова образуют код. Первая часть кодового слова состоит из информационных битов сообщения: : <tex>x_1 = u_1, x_2 = u_2, {\ldots}, x_k = u_k</tex>, за которым следуют <tex>n - k</tex> ''проверочных'' битов <tex>x_{k+1}, {\ldots}, x_n</tex>. Проверочные биты выбраны так, чтобы кодовые слова удовлетворяли уравнению : <tex>\begin{equation*}H\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\{\ldots}\\x_n\end{array}\right) = Hx^{\top} = 0\end{equation*}</tex>, где <tex>H</tex> {{---}} [[Участник:Terraqottik#Проверочная матрица | проверочная матрица]]. === Пример === Проверочная матрица  : <tex>\begin{equation*}H = \left[\begin{array}{c|c}011 & 100\\101 & 010\\110 & 001\end{array}\right]\end{equation*}</tex> определяет код с <tex>k = 3</tex> и <tex>n = 6</tex>. Для этого кода <tex>\begin{equation*}A = \left[\begin{array}{c}011\\101\\110\end{array}\right]\end{equation*}</tex>. Сообщение <tex>u_1u_2u_3</tex> кодируется в кодовое слово <tex>x = x_1x_2x_3x_4x_5x_6</tex>, которое начинается с самого сообщения: : <tex>x_1 = u_1; x_2 = u_2; x_3 = u_3</tex>, а последующих три проверочных символа <tex>x_4x_5x_6</tex> выбираются так, чтобы выполнялось уравнение <tex>Hx^{\top} = 0</tex>. Если сообщение <tex>u = 011</tex>, то <tex>x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 1</tex>, и проверочные биты легко определяются: <tex>x_4 = 0; x_5 = 1; x_6 = 1</tex>, так что кодовое слово <tex>x = 011011</tex>.