Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''random walk'') {{---}} случайный процесс, состоящий из последовательности случайных шагов на каком-нибудь множестве. Обычно рассматриваются случайные блуждания на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с началом в нуле и с равновероятными шагами либо на $+1$, либо на $-1$.}}

|definition = Иногда также может рассматриваться просто '''блуждание''' {{---}} комбинаторный объект, который появляется как результат случайного блуждания над целочисленной прямой. Блуждание из $n$ шагов можно однозначно задать последовательностью длины $n$, на $i$-й позиции которой стоит либо $+1$, либо $-1$, то есть битовым вектором. }}

Число различных блужданий длины $n$, заканчивающихся в целой координате $x$ (<tex>|x| \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor</tex>), равно <tex>\binomdbinom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>, если $n$ и $x$ имеют одинаковую четность, и 0 иначе.

Чтобы блуждание закончилось в координает координате $x$, нужно, чтобы количество движений на $+1 $ было на $x$ больше (на $-x$ меньше) количества движений на $-1$. Ясно, что это невозможно, если координата $x$ имеет не ту же четность, что и $n$, так как в результате любого блуждания из $n$ шагов координата, в которой мы оказываемся в конце, всегда имеет такую же четность, что и $n$. В случае однаковой четности искомое количество равно количеству битовых векторов длины $n$, в которых ровно <tex>\frac{n + x}{2}</tex> единиц. Понятно, что все такие битовые вектора можно получить следующим способом: выберем <tex>\frac{n + x}{2}</tex> позиций в векторе длины $2n$, на этих позициях расположим значение $1$, а на остальных {{---}} значение $0$. Из построения ясно, что количество таких способов по определению равно числу сочетаний <tex>\binomdbinom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>.}} === Свойства случайных блужданий === {{Теорема | id=3|statement=Математическое ожидание квадрата координаты, в которой заканчивается блуждание длины $n$, равно $n$.|proof=Потом.}} {{Теорема | id=4|statement=Математическое ожидание модуля координаты, в которой заканчивается блуждание длины $n$, асимптотически растёт, как <tex>\mathcal O(\sqrt n)</tex>.|proof=Из предыдущей теоремы известно, что <tex>E \left[ X_n^2 \right] = n</tex>. По неравенству Йенсена для математического ожидания для выпуклой функции <tex>\varphi (x)</tex> выполнено <tex>\varphi \left( E \left[ X \right] \right) \leq E \left[ \varphi (X) \right]</tex>. Таким образом, взяв <tex>X = |X_n|</tex> и <tex>\varphi (x) = x^2</tex>, получаем <tex>E |X_n| \leq \left( E \left[ X_n^2 \right] \right)^{1/2} = \sqrt{n}</tex>, а значит <tex>E |X_n| = \mathcal O(\sqrt{n})</tex>.}} == Производящие функции == {{Теорема | id=5|statement=Пусть $w_i$ {{---}} количество блужданий длины $2n$, которые оканчиваются в нуле. Тогда верна следующая рекуррентная формула: <tex>w_n = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}</tex>, где $C_i$ {{---}} число Каталана. |proof=Доказательство очень похоже на вывод формулы для числа путей Дика длины $2n$.  Рассмотрим номер шага не равного $2n$, на котором траектория блуждания последний раз заходит в нулевую координату. Пусть эта координата равна $2x$, тогда после этого есть два варианта развития: перемещение либо на $+1$, либо на $-1$. В обоих случаях путь в следующий раз пересечёт нулевую координату только на $2n$-ое пермещение, поэтому при перемещении из координаты $2x$ далее лежит путь Дика длины $2n - 2x - 2$, не заходящий либо левее координаты $1$ (в случае перемещения $+1$), либо правее кординаты $-1$ (в случае перемещения $-1$). Количество путей Дика длины $2n - 2x - 2$ равно $C_{n-x-1}$. Так как у каждого блуждания есть его последняя позиция пересечения нулевой координаты, не равная $2n$, то можно рекурсивно посчитать все блуждания следующим образом: <tex>w_n = \sum\limits_{x = 0}^{n - 1}{w_x \cdot 2 C_{n-x-1}} = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}{w_i C_{n-i-1}}</tex>}} {{Теорема | id=6|statement=Производящая функция для количества блужданий чётной длины, заканчивающихся в нулевой координате, равна: <tex>W(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4t}}</tex> |proof=Доказательство через производные можно посмотреть [[Производящая_функция#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.B7.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B0.D1.85.D0.BE.D0.B6.D0.B4.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D1.8F.D1.89.D0.B5.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|здесь]]. Далее будет приведено доказательство, использующее реккурентное соотношение из предыдущей теоремы. Реккурентному соотношению из предыдущей теоремы соответствует равенство соответствующих формальных рядов: $W(t) = 1 + 2 t W(t) C(t)$, где $C(t)$ {{---}} производящая функция для чисел Каталана.  Таким образом, можно выразить $W(t)$: <tex>W(t) = \dfrac{1}{1 - 2 t C(t)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4 t}}</tex>}} {{Теорема | id=7|statement=Производящая функция для количества блужданий, заканчивающихся в некоторой положительной координате $n$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна: <tex>W_n(t) = \dfrac{(1 - \sqrt{1 - 4t^2})^{n+1}}{2^{n+1}t^{n+2}} = t^n C^{n+1}(t^2)</tex> |proof=Потом.}} {{Теорема | id=8|statement=Производящая функция для значений $w_{n,m}$ {{---}} количества блужданий длины $n$, заканчивающихся в некоторой положительной координате $m$ и не заходящих в отрицательную полупрямую, равна: <tex>W(u, v) = \dfrac{C(v^2)}{1 - u v C(v^2)}</tex> |proof=Потом.