Участник:Yulya3102/Матан

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

В списках - незапиленные темы. Выбираем вопрос, пилим, убираем из списка.

Виноградов

Содержание

Основные вопросы[править]

Список[править]

Жирным отмечены вопросы, по которым написана только формулировка. В «доказательстве» написана страница Виноградова, откуда это взято. Кому не лень, запиливайте

  • Дифференцирование разложений Тейлора
  • Иррациональность числа e
  • Теорема о свойствах неопределенного интеграла
  • Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
  • Интегрируемость модуля интегрируемой функции
  • Интегрируемость произведения
  • Интегрируемость частного
  • Ослабленный критерий Лебега. Следствие
  • Иррациональность числа пи
  • Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
  • Теорема о формуле трапеций
  • Формула Эйлера - Маклорена
  • Формула Стирлинга
  • Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
  • Признак сравнения сходимости несобственного интеграла
  • Теорема об абсолютной сходимости
  • Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость
  • Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности
  • Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.
  • Площадь подграфика.
  • Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
  • Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой
  • Изопериметрическое неравенство
  • Усиленная теорема о плотности
  • Вычисление длины пути. Длина графика
  • Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши
  • Признак сравнения сходимости положительных рядов
  • Признак Коши
  • Признак Даламбера
  • Признак Раабе
  • Теорема об абсолютно сходящихся рядах
  • Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками
  • Теорема о произведении рядов
  • Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций
  • Теорема об предельном переходе под знаком интеграла
  • Теорема о предельном переходе под знаком производной

Правило Лопиталя[править]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0[править]

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что

[math] {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math].

По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда

[math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math],

[math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math].

По доказанному

[math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf[править]

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что

[math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math].

Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим

[math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math].

Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math].

2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда

[math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math].

По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание о представимости функции рядом Тейлора[править]

Теорема (достаточное условие представимости функции рядом Тейлора):
Для представимости функции [math]f(x)[/math] ее рядом Тейлора в инетрвале [math]|x-a|\lt R[/math], достаточно выполнения следующего равенства:

[math]\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=0[/math]

при [math]x\in(a-R,a+R)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Выберем произвольно и зафиксируем [math]x\in(a-R,a+R)[/math]. Из [math]f(x)=T_n(x)+R_n(x)[/math] следует, что

[math]\underset{n\to\infty}{\lim}T_n(x)=\underset{n\to\infty}{\lim}(f(x)-R_n(x))=f(x)-\underset{n\to\infty}{\lim}R_n(x)=f(x)[/math],

т.е. [math]f(x)[/math] равна пределу частичных сумм ряда Тейлора, и поэтому функция [math]f(x)[/math] является суммой ее ряда Тейлора.
[math]\triangleleft[/math]

Дифференцирование разложений Тейлора[править]

Ну приблизительно: Типа если мы продифференцируем формулу Тейлора для какой-то функции, то получим формулу Тейлора для её производной

Иррациональность числа е[править]

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности[править]

Критерий монотонности функции[править]

Теорема:
Пусть функция f непрерывна на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f возрастает (убывает) на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] в том и только в том случае, когда [math]f'(x) \ge 0 \ (f'(x) \le 0) \ \forall x \in (a, b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда [math]f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle[/math] , поэтому

[math]f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0[/math].

2. Достаточность. Пусть [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle[/math] . Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2[/math], и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]:

[math]f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \ge 0[/math].

Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции [math]-f[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие: критерий постоянства функции[править]

Теорема:
Пусть [math]f: \langle a, b\rangle \to \mathbb{R}[/math]. Тогда f постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math], то по критерию монотонности функции функция [math]f[/math] одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Критерий строгой монотонности функции[править]

Теорема:
Пусть функция f непрерывна на [math]\langle a, b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f строго возрастает на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только в том случае, когда:

1) [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in (a, b)[/math];

2) [math]f'[/math] не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции.

Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание [math]f[/math]. Если возрастание нестрогое, то [math]\exists x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, f(x_1) = f(x_2)[/math]. Тогда [math]f[/math] постоянна на [math][x_1, x_2][/math], что противоречит условию 2).
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума[править]

Теорема (Необходимое условие экстремума):
Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math] - точка экстремума [math]f,\ f[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]f'(x_0)=0.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По определению точки экстремума [math]\exists\delta\gt 0:\ f(x_0)=\underset{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}{\max}f(x)[/math] или [math]f(x_0)=\underset{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}{\min}f(x).[/math]

Остается применить теорему Ферма к функции [math]f|_{(x_0-\delta,x_0+\delta)}.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Лемма о трех хордах[править]

Лемма:
Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math], [math]x_1, x_2, x_3 \in \langle a, b\rangle, x_1 \lt x_2 \lt x_3[/math]. Тогда [math]{f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_1) \over x_3 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_2) \over x_3 - x_2}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По определению выпуклости

[math]f(x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_3)[/math],

где [math]t={x_3 - x_2 \over x_3 - x_1}, \ 1-t = {x_2 - x_1 \over x_3 - x_1}[/math]. Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны,

[math]f(x_2) \le f(x_1)+(1-t)(f(x_3)-f(x_1))=f(x_1)+(x_2-x_1){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x_1}[/math],

что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны,

[math]f(x_2)\le f(x_3)-t(f(x_3)-f(x_1))=f(x_3)-(x_3-x_2){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x)1}[/math],

что равносильно правому неравенству в лемме.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции[править]

Теорема:
Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b \rangle[/math]. Тогда для любой точки [math]x \in (a, b) \ \exists[/math] конечные [math]f'_-(x), f'_+(x): f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим

[math]g(\xi) = {f(\xi) - f(x) \over \xi - x}, \ \xi \in \langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math].

По лемме о трех хордах g возрастает на [math]\langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. Поэтому, если [math]a \lt \xi \lt x \lt \eta \lt b[/math], то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть

[math]{f(\xi) - f(x) \over \xi - x} \le {f(\eta) - f(x) \over (\eta - x}[/math].

Следовательно, g ограничена на [math]\langle a, x)[/math] сверху, а на [math](x, b\rangle[/math] - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы [math]g(x-)[/math] и [math]g(x+)[/math], которые по определению являются односторонними производными [math]f'_-(x)[/math] и [math]f'_+(x)[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x[/math] слева, а [math]\eta[/math] - справа, получаем, что [math]f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции[править]

Теорема:
Если функция выпукла на [math]\langle a, b\rangle[/math], то она непрерывна на [math](a, b)[/math]. Замечание: на концах промежутка выпуклая функция может испытывать разрыв.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Непрерывность следует из существования конечных односторонних производных слева и справа в каждой точке [math]x \in (a, b)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Описание выпуклости с помощью касательных[править]

Теорема:
Пусть функция f дифференцируема на [math]\langle a, b\rangle[/math]. Тогда f выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть [math]\forall x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] [math]f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, [math]x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math].

Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math]

[math]{f(\eta) - f(x_0) \over \eta - x_0} \le {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math].

Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство

[math]f'(x_0) \le {f(x) - f(x_0) \over x-x_0}[/math],

равносильное неравенству в теореме.

Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math]

[math]{f(\xi)-f(x_0)\over\xi-x_0}\ge{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math].

Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство

[math]f'(x_0) \ge {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math],

равносильное неравенству в теореме.

2. Достаточность. Пусть [math]\forall x,x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] верно неравенство в теореме. Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, \ x \in (x_1, x_2)[/math]. Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем

[math]f(x_1) \ge f(x) + f'(x)(x_1 - x)[/math],

[math]f(x_2) \ge f(x) + f'(x)(x_2 - x)[/math],

что равносильно

[math]{f(x) - f(x_1)\over x-x_1}\le f'(x)\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math].

Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.
[math]\triangleleft[/math]

Дифференциальный критерий выпуклости[править]

Теорема:
1. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на [math]\langle a,b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a,b)[/math]. Тогда [math]f[/math] (строго) выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math] в том и только том случае когда [math]f'[/math] (строго) возрастает на [math](a,b)[/math].


2. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на [math]\langle a,b\rangle[/math] и дважды дифференцируема на [math](a,b)[/math]. Тогда [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f''(x)\ge0\ \forall x\in(a,b)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Возьмем [math]x_1,x_2\in(a,b):\ x_1\lt x_2[/math]. По теореме об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

[math]f'(x_1)\le{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}\le f'(x_2)[/math],

что и означает возрастание [math]f'[/math].

Достаточность. Возьмем [math]x_1,x_2\in\langle a,b\rangle:\ x_1\lt x_2[/math], и [math]x\in(x_1,x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c_1\in(x_1,x),\ c_2\in(x,x_2):\ {f(x)-f(x_1)\over x-x_1}=f'(c_1),\ {f(x_2)-f(x)\over x_2-x}=f'(c_2).[/math]

Тогда [math]x_1\lt c_1\lt x\lt c_2\lt x_2[/math], а [math]f'[/math] по условию возрастает, поэтому [math]f'(c_1)\le f'(c_2)[/math], то есть

[math]{f(x)-f(x_1)\over x-x_1}\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math],

что равносильно неравенству из определения выпуклости.

Если [math]f[/math] строго выпукла вниз, то оба неравенства в доказательстве необходимости строгие. Обратно, если [math]f'[/math] строго возрастает, то неравенство в доказательстве достаточности строгое, что влечет выпуклость [math]f[/math].

2. По пункту 1 выпуклость [math]f[/math] равносильна возрастанию [math]f'[/math], которое по критерию монотонности равносильно неотрицательности [math]f''[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Йенсена[править]

Теорема:
Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a,b\rangle,\ n\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\forall x_1,...,x_n\in\langle a,b\rangle[/math] и [math]p_1,...,p_n\gt 0[/math]

[math]f\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}.[/math]

Замечание 1. Числа [math]p_k[/math] называются весами, а отношение [math]{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}[/math] - взвешенным средним (арифметическим) чисел [math]x_1,...,x_n[/math]. Если все [math]p_k=1[/math], то взвешенное среднее есть обычное среднее арифметическое [math]{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}x_k[/math]. Неравенство Йенсена можно сформулировать так: значение выпуклой вниз функции от взвешенного среднего не превосходит взвешенного среднего значений функции.

Замечание 2. Не уменьшая общности, можно считать, что [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1[/math]. При этом условии неравенство Йенсена принимает вид

[math]f\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\right)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k)[/math].

Действительно, для произвольных положительных [math]p_k[/math] положим [math]q_k={p_k\over\underset{j=1}{\overset{n}{\sum}}p_j}[/math]. Тогда неравенство Йенсена для весов [math]p_k[/math] и [math]q_k[/math] выглядит одинаково, а [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}q_k=1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k=1[/math]. Положим [math]x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k[/math].

Сразу отметим, что если [math]x_1=...=x_n[/math], то [math]x^*[/math] с ними совпадает, а неравенство Йенсена обращается в равенство.

Пусть среди чисел [math]x_1,...,x_n[/math] есть различные.

Проверим, что [math]x^*\in(a,b)[/math]. Действительно, хоть одно из чисел [math]x_k[/math] меньше [math]b[/math], поэтому

[math]x^*=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\lt \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kb=b[/math].

Аналогично доказывается, что [math]x^*\gt a[/math].

В точке [math]x^*[/math] у функции [math]f[/math] существует опорная прямая; пусть она задается уравнением [math]\ell(x)=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]\ell(x^*)=f(x^*)[/math] и [math]\ell(x_k)\le f(x_k)\ \forall k[/math]. Поэтому

[math]f(x^*)=\ell(x^*)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k(\alpha x_k+\beta=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k\ell(x_k)\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kf(x_k).[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Гельдера[править]

Теорема:
Пусть [math]a,b\in\mathbb{R}^n[/math] или [math]\mathbb{C}^n,\ p\gt 1,\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1[/math]. Тогда [math]\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^q\right)^{1/q}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как [math]\left\vert\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\right\vert\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_kb_k\vert[/math],

достаточно доказать неравенство Гельдера для чисел [math]\vert a_k\vert,\ \vert b_k\vert[/math]. Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что [math]a_k,b_k\in\mathbb{R}_+[/math]. Более того, можно считать, что все [math]b_k\gt 0[/math]. Действительно, если неравенство Гельдера доказано для положительных чисел [math]b_k[/math], то

[math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k=\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_kb_k\le\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k:b_k\ne0}{\sum}b_k^q\right)^{1/q}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)^{1/p}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{1/q}.[/math]

Итак, пусть [math]a_k\ge0,\ b_k\gt 0\ \forall k[/math]. Функция [math]f(x)=x^p[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Положим [math]p_k=b_k^q,\ x_k=a_kb_k^{1-q}[/math] и применим неравенство Йенсена:

[math]\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_kx_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}p_k}[/math].

Учитывая, что [math]p_kx_k=a_kb_k,\ p_kx_k^p=b_k^qa_k^pb_k^{p(1-q)}=a_k^p,[/math] получаем:

[math]\left({\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_kb_k\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q}\right)^p\le{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\over\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q},[/math]

[math]\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_kb_k\right)^p\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^p\right)\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k^q\right)^{p-1}.[/math]

Остается возвести обе части неравенства в степень [math]\frac{1}{p}[/math] и воспользоваться тем, что [math]1-\frac{1}{p}=\frac{1}{q}.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Минковского[править]

Теорема:
Пусть [math]a,b\in\mathbb{R}^n[/math] или [math]\mathbb{C}^n,\ p\ge1[/math]. Тогда [math]\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p\right)^{1/p}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

При [math]p=1[/math] неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть [math]p\gt 1,\ q={p\over p-1}[/math]. Обозначим [math]C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p[/math]. Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера:

[math]C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\ \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.[/math]

Если [math]C=0[/math], то неравенство Минковского очевидно, а если [math]C\gt 0[/math], то, сокращая на [math]C^{1/q}[/math], получаем требуемое.
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Коши[править]

Теорема (Монотонность средних степенных):
Пусть [math]n\in\mathbb{N},\ r,s\in\mathbb{R},\ r\lt s,\ a_1,...,a_n\ge0[/math] при [math]r\ge0,\ a_1,...,a_n\gt 0[/math] при [math]r\lt 0[/math]. Тогда [math]M_r(a)\le M_s(a)[/math], причем равенство имеет место лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. В частности,

[math]\sqrt[n]{a_1\cdot...\cdot a_n}\le{a_1+...+a_n\over n}[/math].

Это неравенство называется неравенством Коши между средним геометрическим и средним арифметическим.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]0\lt r\lt s[/math]. Поскольку [math]{s\over r}\gt 1[/math], функция [math]f(x)=x^{s/r}[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Применим к ней неравенство Йенсена, взяв [math]p_k=1,\ x_k=a^r_k[/math]. Получим

[math]\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k^r\right)^{s/r}\le{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^s[/math],

причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. Остается возвести обе части в степень [math]1\over s[/math].

2. Пусть [math]r=0,s=1[/math], то есть докажем неравенство Коши. Если среди [math]a_k[/math] есть нуль, то неравенство очевидно выполняется и обращается в равенство лишь если все [math]a_k[/math] суть нули. Пусть [math]a_1,...,a_n\gt 0[/math]. Применим неравенство Йенсена к строго выпуклой вверх функции [math]\ln[/math], взяв [math]p_k=1,\ x_k=a_k[/math]. Получим

[math]{1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \ln a_k\le \ln\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k\right)[/math],

что равносильно неравенству Коши, причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...a_n[/math].

3. Если [math]r=0\lt s[/math], то по доказанному неравенству Коши

[math]M_0(a)=M_0^{1/s}(a^s)\le M_1^{1/s}(a^s)=M_s(a).[/math]

4. Если [math]r\lt s\le0[/math], то [math]0\le-s\lt -r[/math], и по доказанному

[math]M_r(a)={1\over M_{-r}({1\over a})}\le {1\over M_{-s}({1\over a})}=M_s(a).[/math]

5. Если [math]r\lt 0\lt s[/math], то [math]M_r(a)\le M_0(a)\le M_s(a).[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о свойствах неопределенного интеграла[править]

Теорема (О свойствах неопределённого интеграла):
Пусть функции [math] f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} [/math] имеют первообразные, [math] \alpha \in \mathbb{R} [/math]. Тогда

1. Функция [math] f + g [/math] имеет первообразную и [math] \int (f + g) = \int f + \int g [/math];

2. Функция [math] \alpha f [/math] имеет первообразную и при [math] \alpha \neq 0 [/math] [math] \int \alpha f = \alpha \int f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 1, стр. 254
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие[править]

Лемма о свойствах сумм Дарбу[править]

Теорема:
1. [math]S_\tau(f)=\underset{\xi}{\sup}\sigma_\tau(f,\xi),\ s_\tau(f)=\underset{\xi}{\inf}\sigma_\tau(f,\xi)[/math] (грани берутся по всевозможным оснащениям дробления [math]\tau[/math]).


2. При добавлении новых точек дробления верхняя сумма не увеличится, а нижняя - не уменьшится.


3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней (даже отвечающей другому дроблению).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. Очевидно, что [math]f(\xi_k)\le M_k\ \forall k\in[0:n-1][/math] . Умножая эти неравенства на [math]\Delta x_k[/math] и суммируя по [math]k[/math], получаем неравенство [math]\sigma\le S[/math], то есть [math]S[/math] - верхняя граница для интегральных сумм Римана. Докажем, что эта верхняя граница точная.

Пусть [math]f[/math] ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и для каждого [math]k[/math] по определению верхней грани подберем [math]\xi^*_k\in[x_k,x_{k+1}]:\ f(\xi^*_k)\gt M_k-{\epsilon\over b-a}[/math]. Тогда

[math]\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k\gt S={\epsilon\over b-a}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\Delta x_k=S-\epsilon[/math].

Так как [math]\epsilon[/math] произвольно, [math]S[/math] - точная верхняя граница.

Пусть [math]f[/math] не ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Тогда [math]\exists \nu:\ f[/math] - не ограничена сверху на [math][x_\nu,x_{\nu+1}][/math]. Возьмем [math]A\gt 0[/math] и выберем точки [math]\xi^*_k[/math] при [math]k\ne\nu[/math] произвольно, а [math]\xi^*_\nu[/math] - так, чтобы

[math]f(\xi^*_\nu)\gt {1\over\Delta x_\nu}\left(A-\underset{k\ne\nu}{\sum}f(\xi^*_k)\Delta x_k\right)[/math].

Тогда

[math]\sigma^*=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi^*_k)\Delta x_k\gt A[/math].

Так как [math]A[/math] произвольно, [math]\underset{\xi}{\sup}\sigma=+\infty=S[/math].

2. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. В силу принципа математической индукции достаточно проверить, что верхняя сумма не увеличится при добавлении одной новой точки дробления. Пусть дробление [math]T[/math] получено из дробления [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] добавлением точки [math]c\in(x_\nu,x_{\nu+1})[/math]. Тогда

[math]S_\tau=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M_\nu\Delta x_\nu+\overset{n-1}{\underset{k=\nu+1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math],

[math]S_T=\underset{k=0}{\overset{\nu-1}{\sum}}M_k\Delta x_k+M'(c-x_\nu)+M''(x_{\nu+1}-c)+\underset{k=\nu+1}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math],

где [math]M'=\underset{x\in[x_\nu,c]}{\sup}f(x),\ M''=\underset{x\in[c,x_{\nu+1}]}{\sup}f(x)[/math]. Поскольку при сужении множества его супремум не увеличивается, [math]M'\le M_\nu[/math] и [math]M''\le M_\nu[/math]. Поэтому

[math]S_\tau-S_T=M_\nu\Delta x_\nu - M'(c-x_\nu)-M''(x_{\nu+1}-c)\ge M_\nu(x_{\nu+1}-x_\nu-c+x_\nu+c-x_{\nu+1} = 0.[/math]

3. Неравенство [math]s_\tau\le S_\tau[/math] между суммами для одного и того же дробления [math]\tau[/math] тривиально. Пусть [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] - два дробления отрезка [math][a,b][/math]. Докажем, что [math]s_{\tau_1} \le S_{\tau_2}[/math]. Положим [math]\tau=\tau_1\cup\tau_2[/math]. Тогда по свойству 2

[math]s_{\tau_1}\le s_\tau\le S_\tau\le S_{\tau_2}.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Критерий интегрируемости Римана[править]

Теорема (Критерий интегрируемости функции):
Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Тогда [math]f\in R[a,b][/math] в том и только том случае, когда [math]S_\tau(f) - s_\tau(f)\underset{\lambda\to0}{\to}0[/math], то есть [math]\forall\epsilon\gt 0\ \exists\delta\gt 0\ \forall\tau:\lambda_\tau\lt \delta\ S_\tau(f)-s_\tau(f)\lt \epsilon.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть [math]f\in R[a,b][/math]. Обозначим [math]I=\int^b_af[/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и подберем такое [math]\delta\gt 0[/math] из определения предела интегральных сумм, что для любого оснащенного дробления [math](\tau,\xi)[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math],

[math]I-{\epsilon\over3}\lt \sigma_\tau(f,\xi)\lt I+{\epsilon\over3}.[/math]

Переходя к супремуму и инфимуму по [math]\xi[/math], в силу свойства 1 получаем:

[math]I-{\epsilon\over3}\le s_\tau\le S_\tau\le I+{\epsilon\over3}[/math],

откуда [math]S_\tau-s_\tau\le{2\epsilon\over3}\lt \epsilon.[/math]

2. Достаточность. Пусть [math]S_\tau-s_\tau\underset{\lambda\to0}{\to}0[/math]. Тогда все суммы [math]S_\tau[/math] и [math]s_\tau[/math] конечны.

[math]\forall\tau\ s_\tau\le I_*\le I^*\le S_\tau[/math],

поэтому [math]0\le I^*-I_*\le S_\tau-s_\tau.[/math]

Так как правая часть последнего неравенства принимает сколь угодно малые значения, [math]I_*=I^*[/math]. Обозначим общее значение [math]I_*[/math] и [math]I^*[/math] через [math]I[/math] и докажем, что [math]I=\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma[/math]. Из неравенств

[math]s_\tau\le I\le S_\tau,\ s_\tau\le\sigma_\tau\le S_\tau[/math]

следует, что

[math]\vert\sigma_\tau-I\vert\le S_\tau-s_\tau.[/math]

По [math]\epsilon\gt 0[/math] можно подобрать такое [math]\delta\gt 0[/math], что для любого дробления [math]\tau[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math], будет [math]S_\tau-s_\tau\lt \epsilon[/math], а тогда для любого оснащения [math]\xi[/math] такого дробления [math]\vert\sigma_\tau(f,\xi)-I\vert\lt \epsilon.[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Критерий интегрируемости Римана):
Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}.[/math] Тогда [math]f\in R[a,b][/math] в том и только том случае, когда [math]\forall\epsilon\gt 0\ \exists\tau:\ S_\tau(f)-s_\tau(f)\lt \epsilon.[/math]

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде[править]

Теорема (Интегрируемость функции и ее сужения):
1. Если [math]f\in R[a,b],\ [\alpha,\beta]\subset[a,b][/math], то [math]f\in R[\alpha,\beta].[/math] 2. Если [math]a\lt c\lt b,\ f:[a,b]\to\mathbb{R},\ f[/math] интегрируема на [math][a,c][/math] и на [math][c,b][/math], то [math]f\in R[a,b].[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][\alpha,\beta][/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и подберем [math]\delta\gt 0[/math] из критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][a,b][/math]: если ранг дробления [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math] меньше [math]\delta[/math], то [math]S_\tau-s_\tau\lt \varepsilon[/math]. Покажем, что это [math]\delta[/math] подходит и для критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][\alpha,\beta][/math]. Пусть [math]\tau_0[/math] - дробление [math][\alpha,\beta],\ \lambda_{\tau_0}\lt \delta[/math]. Возьмем какие-нибудь дробления отрезков [math][a,\alpha][/math] и [math][\beta,b][/math] (если эти отрезки невырожденные) ранга, меньшего [math]\delta[/math], и объединим их с [math]\tau_0[/math]. Получим дробление [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] отрезка [math][a,b][/math]:

[math]a=x_0\lt ...\lt x_\mu=\alpha\lt x_{\mu+1}\lt ...\lt x_\nu=\beta\lt x_{\nu+1}\lt ...\lt x_n=b,[/math]

причем [math]\lambda_\tau\lt \delta[/math]. Тогда

[math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\underset{k=\mu}{\overset{\nu-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}\omega_k(f)\Delta x_k\le\varepsilon.[/math]

2. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]f[/math] не постоянна, то есть что [math]\omega=\omega(f)_{[a,b]}\gt 0[/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math]. По критерию интегрируемости подберем такие [math]\delta_1\gt 0[/math] и [math]\delta_2\gt 0[/math], что для любых дроблений [math]\tau_1[/math] отрезка [math][a,c][/math] и [math]\tau_2[/math] отрезка [math][c,b][/math], удовлетворяющих условиям [math]\lambda_{\tau_1}\lt \delta_1,\ \lambda_{\tau_2}\lt \delta_2[/math], выполняются неравенства

[math]S_{\tau_1}-s_{\tau_1}\lt {\varepsilon\over3},\ S_{\tau_2}-s_{\tau_2}\lt {\varepsilon\over3}.[/math]

Положим [math]\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,{\varepsilon\over3\omega}\}[/math]. Пусть [math]\tau[/math] - дробление [math][a,b],\ \lambda_\tau\lt \delta[/math]. Точка [math]c[/math] не обязана принадлежать [math]\tau[/math]; пусть [math]c\in[x_\nu,x_{\nu+1}).[/math] Обозначим

[math]\tau'=\tau\cup\{c\},\ \tau_1=\tau'\cap[a,c],\ \tau_2=\tau'\cap[c,b].[/math]

Тогда по выбору [math]\delta[/math]

[math]S_\tau-s_\tau\le S_{\tau_1}-s_{\tau_1}+S_{\tau_2}-s_{\tau_2}+\omega_\nu(f)\delta\lt \varepsilon.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Аддитивность интеграла[править]

Теорема (Аддитивность интеграла по отрезку):
Если [math]a,b,c\in\mathbb{R},\ f\in R[\min\{a,b,c\},\max\{a,b,c\}][/math], то [math]\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a\lt c\lt b,\ f\in R[a,b][/math]. Тогда по теореме об интегрируемости функции и ее сужения [math]f\in R[a,c][/math] и [math]f\in R[c,b][/math]. Пусть [math]\{(\bar\tau^{(n)},\bar\xi^{(n)})\}, \{(\bar{\bar\tau}^{(n)},\bar{\bar\xi}^{(n)})\}[/math] - последовательности оснащенных дроблений отрезков [math][a,c][/math] и [math][c,b][/math] на [math]n[/math] равных частей, [math]\tau^{(n)}=\bar\tau^{(n)}\cup\bar{\bar\tau}^{(n)},\ \xi^{(n)}=\bar\xi^{(n)}\cup\bar{\bar\xi}^{(n)},\ \bar\sigma_n,\ \bar{\bar\sigma}_n[/math] и [math]\sigma_n[/math] - соответствующие последовательности интегральных сумм. Тогда

[math]\sigma_n=\bar\sigma_n+\bar{\bar\sigma}_n.[/math]

Остается перейти к пределу при [math]n\to+\infty.[/math]

Если [math]a\lt b\lt c[/math], то по доказанному

[math]\int_a^bf=\int_a^cf-\int_b^cf=\int_a^cf+\int_c^bf.[/math]

Если [math]a=b[/math], то

[math]\int_a^bf=0=\int_a^cf+\int_c^bf.[/math]

Остальные случаи разбираются аналогично.
[math]\triangleleft[/math]

Предел римановых сумм[править]

Определение:
Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Число [math] I [/math] называют пределом интегральных сумм при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа [math] \varepsilon [/math] существует такое положительное число [math] \delta [/math], что для любого оснащения дробления [math] ( \tau, \xi ) [/math], ранг которого меньше [math] \delta [/math], интегральная сумма отличается от числа [math] I [/math] меньше чем на [math] \varepsilon [/math].


Линейность интеграла[править]

Теорема:
Если [math]f,g\in R[a,b],\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math], то [math]\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Интегрируемость [math]\alpha f+\beta g[/math] следует из теоремы об арифметических действиях над интегрируемыми функциями. Остается перейти к пределу в равенстве

[math]\sigma_\tau(\alpha f+\beta g)=\alpha\sigma_\tau(f)+\beta\sigma_\tau(g).[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Монотонность интеграла[править]

//и другие свойства, нужные при доказательстве теорем

Теорема (Монотонность интеграла (свойство 4)):
Если [math]a\lt b,\ f,g\in R[a,b],\ f\le g[/math], то [math]\int_a^bf\le\int_a^bg[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства нужно перейти к пределу в неравенстве [math]\sigma_\tau(f)\le\sigma_\tau(g)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие 1):
Пусть [math]a,b,\ f\in R[a,b].[/math] Если [math]M\in\mathbb{R},\ f\le M[/math], то

[math]\int_a^bf\le M(b-a),[/math]

а если [math]m\in\mathbb{R},\ f\ge m[/math], то

[math]\int_a^bf\ge m(b-a)[/math].

В частности, если [math]f\in R[a,b],\ f\ge0[/math], то

[math]\int_a^b f\ge0[/math].
Теорема (Свойство 5):
Пусть [math]a\lt b,\ f\in R[a,b],\ f\ge0,\ \exists x_0\in[a,b]:f(x_0)\gt 0,\ f[/math] непрерывна в [math]x_0[/math]. Тогда [math]\int_a^bf\gt 0.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]\varepsilon={f(x_0\over2}\gt 0[/math] и по определению непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] подберем [math]\delta\gt 0:\ \forall x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap[a,b]\ f(x)\gt f(x_0)-\varepsilon={f(x_0)\over2}[/math].

Обозначим [math][\alpha,\beta]=[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap[a,b][/math]. По следствию 1 из свойства монотонности

[math]\int_a^bf=\int_a^\alpha f+\int_\alpha^\beta f+\int_\beta^bf\ge\int_\alpha^\beta f\ge(\beta-\alpha){f(x_0)\over2}\gt 0.[/math]

Замечание 1. Без условия непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] утверждение неверно. Контрпримером служит функция, равная 0 всюду, кроме одной точки, в которой она положительна.

Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для двух функций:

Пусть [math]a\lt b,\ f,g\in R[a,b],\ f\le g,\ \exists x_0\in[a,b]:f(x_0)\lt g(x_0),\ f,g[/math]непрерывны в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]\int_a^bf\lt \int_a^bg[/math].

Для доказательства достаточно применить свойство к функции [math]g-f.[/math]

Замечание 3. Пусть [math]a\lt b,\ f\in R[a,b],\ f\gt 0.[/math] Тогда [math]\int_a^bf\gt 0.[/math] Аналогичное утверждение верно и для двух функций.

Действительно, из критерия Лебега легко вытекает, что на [math][a,b][/math] есть точки непрерывности [math]f[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Свойство 6):
Пусть [math]a\lt b,\ f\in R[a,b][/math]. Тогда [math]\left\vert\int_a^bf\right\vert\le\int_a^b\vert f\vert[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Интегрируя неравенство [math]-\vert f\vert\le f\le\vert f\vert[/math], получаем:

[math]-\int_a^b\vert f\vert\le\int_a^bf\le\int_a^b\vert f\vert[/math],

что равносильно доказываемому.

Замечание 4. Если отказаться от требования [math]a\lt b[/math], свойство надо изменить так: если [math]f\in R[a,b][/math], то [math]\left\vert\int_a^bf\right\vert\le\left\vert\int_a^b\vert f\vert\right\vert.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Интегрируемость модуля интегрируемой функции[править]

Интегрируемость произведения[править]

Интегрируемость частного[править]

Ослабленный критерий Лебега. Следствие[править]

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). Ослабленный критерий - это, видимо, тогда, когда множество точек, где ф-ия разрывна, просто конечно. // Скорее всего, еще все разрывы 1 рода


Примерное доказательство, если там действительно конечное множество точек разрыва:

Пусть есть m точек разрыва. Тогда они входят не более, чем в 2m отрезков дробления. Пусть X — множество точек разрыва. Тогда [math]S_{\tau} - s_{\tau}[/math] можно представить в виде [math]\overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X = \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k + \overset{n-1}{\underset{k=0, [x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\sum}}{\omega}_k(f)\Delta x_k[/math]. На всех отрезках, участвующих в первом слагаемом, функция непрерывна, поэтому оно, очевидно, стремится к нулю при [math]\max{\Delta{x_k} \to 0}[/math]. Для второго обозначим [math]d = \underset{[x_k, x_k+1]\cap X \neq \emptyset}{\max}{\omega}_k[/math]. Тогда оно меньше или равно [math]2md{\underset{k\in [0, n - 1]}{\max}}\Delta x_k[/math], что никак не мешает всей сумме стремиться к нулю.

Теорема о среднем. Следствия[править]

Теорема (Теорема о среднем):
Пусть [math]f,g\in R[a,b],\ g\ge0[/math] (или [math]g\le0[/math]), [math]m,M\in\mathbb{R},\ m\le f\le M[/math]. Тогда [math]\exists\mu\in[m,M]: \int_a^bfg=\mu\int_a^bg[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для определенности будем полагать, что [math]a\lt b,g\ge0[/math]. Тогда [math]\int_a^bg\ge0[/math] и [math]mg\le fg\le Mg[/math].

Проинтегрируем это неравенство и вынесем постоянные множители за знаки интегралов:

[math]m\int_a^bg\le\int_a^bfg\le M\int_a^bg[/math].

Отсюда если [math]\int_a^bg=0[/math], то и [math]\int_a^bfg=0[/math], а тогда подходит любое [math]\mu[/math]. Если же [math]\int_a^bg\gt 0[/math], то следует положить:

[math]\mu={\int_a^bfg\over\int_a^bg}[/math].

Условия на [math]\mu[/math], очевидно, выполнены.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие 1):
Пусть [math]f\in C[a,b],\ g\in R[a,b],\ g\ge0[/math] (или [math]g\le0[/math]). Тогда [math]\exists c\int[a,b]:\ \int_a^bfg=f(c)\int_a^bg[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях существуют [math]m=\underset{x\in[a,b]}{\min}f(x)[/math] и [math]M=\underset{x\in[a,b]}{\max}f(x)[/math].

Подберем [math]\mu\in[m,M][/math] из теоремы о среднем. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении найдется [math]c\in[a,b]:\mu=f(c)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие 2):
Пусть [math]f\in R[a,b],\ m,M\in\mathbb{R},\ m\le f\le M[/math]. Тогда [math]\exists\mu\in[m,M]:\int_a^bf=\mu(b-a)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства надо положить [math]g\equiv1[/math] в теореме о среднем.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие 3):
Пусть [math]f\in C[a,b][/math]. Тогда [math]\exists c\in[a,b]:\int_a^bf=f(c)(b-a)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства надо положить [math]g\equiv1[/math] в следствии 1.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Барроу[править]

Теорема (Об интеграле с переменным верхним пределом):
Пусть [math]E\subset\mathbb{R}[/math] - невырожденный промежуток, [math]f:E\to\mathbb{R},\ f[/math] интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в [math]E,\ a\in E,\ \Phi(x)=\int_a^xf(x\in E)[/math]. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. [math]\Phi\in C(E).[/math]

2. Если, кроме того, [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0\in E[/math], то [math]\Phi[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math] и [math]\Phi'(x_0)=f(x_0)[/math].

Утверждение 2 часто называют теоремой Барроу.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Возьмем [math]x_0\in E[/math] и докажем непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math]. Выберем такое [math]\delta\gt 0[/math], что [math][x_0-\delta, x_0+\delta]\cap E[/math] есть невырожденный отрезок [math][A,B][/math]. Функция [math]f[/math] ограничена на [math][A,B][/math] некоторым числом [math]M[/math]. Пусть [math]\Delta x[/math] таково, что [math]x_0+\Delta x\in[A,B][/math]. Тогда по аддитивности интеграла

[math]\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f[/math], по по свойству 4 и по свойству 6

[math]\vert\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\vert\le\left\vert\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}\vert f\vert\right\vert\le M\Delta x\underset{\Delta x\to0}{\to}0[/math].

Это и доказывает непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math].

2. Проверим, что [math]{\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\over\Delta x}\underset{\Delta x\to0}{\to}f(x_0)[/math].

Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и по определению непрерывности подберем [math]\delta\gt 0:\ \forall t\in E:\ \vert t-x_0\vert\lt \delta\ \ \vert f(t)-f(x_0)\vert\lt \varepsilon[/math]. Тогда [math]\forall\Delta x:x_0+\Delta x\in E,\ 0\lt \vert\Delta x\vert\lt \delta[/math], по свойству 6 и по свойству 5 и замечаниям к ним

[math]\left\vert{\Phi(x_0+\Delta x)-\Phi(x_0)\over\Delta x}-f(x_0)\right\vert=\left\vert{1\over\Delta x}\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))dt\right\vert\lt {1\over\vert\Delta x\vert}\varepsilon\vert\Delta x\vert=\varepsilon[/math], откуда и следует проверяемое утверждение.
[math]\triangleleft[/math]

Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций[править]

Теорема (Формула Ньютона-Лейбница):
Пусть [math]f\in R[a,b],\ F[/math] - первообразная [math]f[/math] на [math][a,b][/math]. Тогда [math]\int_a^bf=F(b)-F(a)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\forall n\in\mathbb{N}[/math] положим [math]x_k={k(b-a)\over n}[/math]. Тогда

[math]F(b)-F(a)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}(F(x_{k+1})-F(x_k)).[/math]

По теореме Лагранжа [math]\forall k\in[0:n-1]\ \exists\xi_k^{(n)}\in(x_k,x_{k+1}): F(x_{k+1})-F(x_k)=F'(\xi_k^{(n)})\Delta x_k=f(\xi_k^{(n)})\Delta x_k[/math].

В силу интегрируемости [math]f[/math]

[math]\int_a^b=\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k^{(n)})\Delta x_k=\underset{n\to\infty}{\lim}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a).[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле[править]

Интегрирование по частям[править]

Теорема:
Пусть [math]f,g[/math] дифференцируемы на [math][a,b],\ f',g'\in R[a,b][/math]. Тогда [math]\int_a^bfg'=fg|_a^b-\int_a^bf'g.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будучи дифференцируемыми, функции [math]f,\ g[/math] непрерывны и, следовательно, интегрируемы. По теореме об арифметическими действиями над интегрируемыми функциями [math]f'g,fg'\in R[a,b][/math], а тогда и [math](fg)'=f'g+fg'\in R[a,b][/math]. По формуле Ньютона-Лейбница

[math]\int_a^bfg'+\int_a^bf'g=\int_a^b(fg)'=fg|_a^b.[/math]

Остается перенести второе слагаемое из левой части в правую.
[math]\triangleleft[/math]

Замена переменной[править]

Теорема:
Пусть [math]\varphi:[\alpha,\beta]\to[A,B],\varphi[/math] дифференцируема на [math][\alpha,\beta],\varphi'\in R[\alpha,\beta], f\in C[A,B][/math]. Тогда [math]\int_\alpha^\beta(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Поскольку [math]f\circ\varphi\in C[\alpha,\beta]\subset R[\alpha,\beta][/math], по теореме об арифметических действиях над интегрируемыми функциями [math](f\circ\varphi)\varphi'\in R[\alpha,\beta][/math]. Также и [math]f\in R[\varphi(\alpha),\varphi(\beta)][/math]. Пусть [math]F[/math] - первообразная [math]f[/math] на [math][A,B][/math]. Тогда по правилу дифференцирования композиции [math]F\circ\varphi[/math] - первообразная [math](f\circ\varphi)\varphi'[/math] на [math][A,B][/math]. Применяя к обоим интегралам формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

[math]\int_\alpha^\beta(f\circ\varphi)\varphi'=F\circ\varphi|_\alpha^\beta=F|_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Иррациональность числа пи[править]

Формула Валлиса[править]

Лемма:
Если [math]m\in\mathbb{Z}_+[/math], то [math]\int_0^{\pi/2}\sin^mxdx={(m-1)!!\over m!!}\cdot\begin{cases} {\pi\over2}, & \text{if }m\text{ is even,} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd.} \end{cases}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^mtdt[/math]. Легко проверить, что [math]J_0={\pi\over2},\ J_1=1[/math]. При [math]m-1\in\mathbb{N}[/math] проинтегрируем по частям:

[math]J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^{m-1}xd(-\cos x)=-\sin^{m-1}x\cos x|_0^{\pi/2}+(m-1)\int_0{\pi/2}\sin^{m-2}x\cos^2xdx=(m-1)(J_{m-2}-J_m)[/math]

(в последнем равенстве мы учли, что двойная подстановка обнулилась, и применили формулу [math]\cos^2x=1-\sin^2x[/math]). Выражая [math]J_m[/math], получаем реккурентное соотношение

[math]J_m={m-1\over m}J_{m-2}.[/math]

Остается применить его несколько раз и выразить [math]J_m[/math] через [math]J_0[/math] или [math]J_1[/math] в зависимости от четности [math]m[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Формула Валлиса):
[math]\pi~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\forall x\in(0,\frac{\pi}{2})[/math] выполняется неравенство [math]0\lt \sin x\lt 1[/math], поэтому [math]\forall n\in\mathbb{N}[/math]

[math]\sin^{2n+1}x\lt \sin^{2n}x\lt \sin^{2n-1}x,[/math]

а тогда и

[math]J_{2n+1}\lt J_{2n}\lt J_{2n-1}.[/math]

Подставляя найденные в лемме значения [math]J_m[/math], получаем двойное неравенство

[math]{(2n)!!\over(2n+1)!!}\lt {(2n-1)!!\over(2n)!!}\cdot{\pi\over2}\lt {(2n-2)!!\over(2n-1)!!},[/math]

что равносильно

[math]\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over2n+1}\lt {\pi\over2}\lt \left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over2n}.[/math]

Обозначим [math]x_n=\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2{1\over n}[/math]. Двойное неравенство можно преобразовать к виду

[math]\pi\lt x_n\lt {2n+1\over2n}\pi,[/math]

откуда [math]x_n\to\pi[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Формула Тейлора с интегральным остатком[править]

Теорема (Формула Тейлора с остатком в интегральной форме):
Пусть [math]n\in\mathbb{Z}_+,\ f\in C^{n+1}\langle a,b\rangle,\ x_0,x\in\langle a,b\rangle[/math]. Тогда [math]f(x)= \underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} {f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По индукции. База индукции (случай [math]n=0[/math]) представляет собой формулу Ньютона-Лейбница:

[math]f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(t) dt[/math].

Пусть утверждение верно для некоторого [math]n-1\in\mathbb{Z}_+[/math]. Докажем его для номера [math]n[/math]. Для этого проинтегрируем его по частям в остаточном члене:

[math]\int_{x_0}^x f^{(n)} (t) {(x-t)^{n-1}\over(n-1)!}dt = \int_{x_0}^xf^{(n)} (t) d\left(-{(x-t)^n\over n!}\right) = -\frac{1}{n!}\left[f^{(n)}(t)(x-t)^n\right]_{t=x_0}^x+\frac{1}{n!}\int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt = {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt[/math].

Первое слагаемое в правой части есть слагаемое с номером [math]n[/math] в многочлене Тейлора, а второе - новый остаточный член:

[math]f(x)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}{f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}} {f^{(k)}(x_0)\over k!}(x-x_0)^k+{1\over n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей[править]

Теорема (Неравенство Чебышева для функций):
Пусть [math] f [/math] возрастает, а [math] g [/math] убывает на [math] [a, b] [/math]. Тогда [math] \frac{1}{b - a} \int_a^b fg \leqslant \left ( \frac{1}{b - a} \int_a^b f \right ) \cdot \left ( \frac{1}{b - a} \int_a^b g \right ) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 47
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Неравенство Чебышева для сумм):
Пусть [math] n \in \mathbb{N}, \ a, b \in \mathbb{R}^n, \ a_1 \leqslant ... \leqslant a_n, \ b_1 \geqslant ... \geqslant b_n [/math]. Тогда [math] \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k \leqslant \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k \right ) \cdot \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_k \right ) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 47
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Гельдера и Минковского[править]

Неравенство Гельдера для интегралов[править]

Теорема (Неравенство Гёльдера для интегралов):
Пусть [math]f,g\in C[a,b],\ p,q[/math] - сопряженные показатели. Тогда [math]\left\vert\int_a^b fg\right\vert\le\left(\int_a^b|f|^p\right)^{1/p} \left(\int_a^b|g|^q\right)^{1/q}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Положим [math]x_k=a+{k(b-a)\over n}\ (k\in[0:n]),\ a_k=f(x_k)(\Delta x_k)^{1/p},\ b_k=g(x_k)(\Delta x_k)^{1/q}\ (k\in[0:n-1])[/math]. Тогда [math]a_kb_k=f(x_k)g(x_k)\Delta x_k[/math] в силу равенства [math]{1\over p}+{1\over q}=1[/math]. Воспользуемся неравенством Гёльдера для сумм:

[math]\left|\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}a_kb_k\right|\le \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|b_k|^q\right)^{1/q},[/math]

которое принимает вид

[math]\left|\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(x_k)g(x_k)\Delta x_k\right|\le \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|f(x_k)|^p\Delta x_k\right)^{1/p} \left(\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}|g(x_k)|^q\Delta x_k\right)^{1/q}.[/math]

В последнем неравенстве участвуют суммы Римана для непрерывных функций [math]fg,\ |f|^p,\ |g|^q[/math]. При [math]n\to\infty[/math] суммы стремятся к интегралам от этих функций. Остается сделать предельный переход в неравенстве и воспользоваться непрерывностью модуля и степенных функций.
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Минковского для интегралов[править]

Теорема (Неравенство Минковского для интегралов):
Пусть [math]f,g\in C[a,b],\ p\ge1[/math]. Тогда [math]\left(\int_a^b|f+g|^p\right)^{1/p}\le \left(\int_a^b|f|^p\right)^{1/p}+\left(\int_a^b|g|^p\right)^{1/p}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства неравенства Минковского можно сделать предельный переход в неравенстве для сумм.
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши[править]

Неравенство Йенсена для интегралов[править]

Теорема:
Пусть [math]f[/math] выпукла и непрерывна на [math]\langle A,B\rangle,\ \varphi\in C([a,b]\to\langle A,B\rangle),\ \lambda\in C([a,b]\to[0,+\infty)),\ \int_a^b\lambda=1[/math]. Тогда [math]f\left(\int_a^b\lambda\varphi\right)\le \int _a^b\lambda \cdot (f\circ \varphi )[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]c=\int_a^b\lambda\varphi,\ E=\{x\in[a,b]:\lambda(x)\gt 0\},\ m=\underset{E}{\inf}\varphi,\ M=\underset{E}{\sup}\varphi[/math]

([math]m[/math] и [math]M[/math] конечны по теореме Вейерштрасса). Если [math]m=M[/math], то есть [math]\varphi[/math] постоянна на [math]E[/math], то [math]c=m[/math] и обе части неравенства Йенсена равны [math]f(m)[/math].

Пусть [math]m\lt M[/math]. Тогда [math]c\in(m,M)[/math] и, следовательно, [math]c\in(A,B)[/math]. Функция [math]f[/math] имеет в точке [math]c[/math] опорную прямую; пусть она задается уравнением [math]y=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]f(c)=\alpha c+\beta[/math] и [math]f(t)\ge\alpha t+\beta\ \forall t\in\langle A,B\rangle[/math]. Поэтому

[math]f(c)=\alpha c+\beta=\alpha\int_a^b\lambda\varphi+\beta\int_a^b\lambda=\int_a^b\lambda\cdot(\alpha\varphi+\beta)\le\int_a^b\lambda\cdot(f\circ\varphi).[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Неравенство Коши-Буняковского для интегралов[править]

Теорема:
Пусть [math]f,g\in C[a,b][/math]. Тогда [math]\left|\int_a^bfg\right|\le\sqrt{\int_a^bf^2}\cdot\sqrt{\int_a^bg^2}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства надо положить в неравенстве Гёльдера [math]p=q=2[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о формуле трапеций[править]

Теорема:
[math]\int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f),[/math]

[math]E_n(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} (b - a) h^2. [/math]

[math]h = {{b - a}\over{n}}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Линк(англ.)
[math]\triangleleft[/math]

Формула Эйлера - Маклорена[править]

Вики В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула Стирлинга[править]

Формула на вики В кратце - формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции.

Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям[править]

Теорема (Аддитивность несобственного интеграла):
Если интеграл [math] \int_a^b f [/math] сходится, то для любой точки [math] c \in (a, b) [/math] интеграл [math] \int_c^b f [/math] тоже сходится, и [math] \int_a^b f = \int_a^c f \int_c^b f[/math]. Обратно, если при некотором [math] c \in (a, b) [/math] интеграл [math] \int_c^b f [/math] сходится, то сходится и интеграл [math] \int_a^b f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 51
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Линейность несобственного интеграла):
Если интегралы [math] \int_a^b f [/math], [math] \int_a^b g [/math] сходятся, [math] \alpha, \beta \in \mathbb{R} [/math], то интеграл [math] \int_a^b (\alpha f + \beta g) [/math] сходится и [math] \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 52
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Монотонность несобственного интеграла):
Если интегралы [math] \int_a^b f [/math], [math] \int_a^b g [/math] существуют в [math] \overline{\mathbb{R}} [/math], [math] f \leqslant g [/math] на [math] [a, b) [/math], то [math] \int_a^b f \leqslant \int_a^b g [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 52
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Интегрирование по частям в несобственном интеграле):
Пусть [math] f, g [/math] дифференцируемы на [math] [a, b), \ f', g' \in R_{loc} [a, b) [/math]. Тогда [math] \int_a^b f g' = fg |_a^b - \int_a^b f' g [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 53
[math]\triangleleft[/math]

Признак сравнения сходимости несобственного интеграла[править]

Теорема (Признак сравнения сходимости несобственных интегралов):
Пусть [math] f, g \in R_loc [a, b), \ f, g \geqslant 0, \ f(x) = O(g(x)) [/math] при [math] x \to b- [/math].

1. Если интеграл [math] \int_a^b g [/math] сходится, то и интеграл [math] \int_a^b f [/math] сходится.

2. Если интеграл [math] \int_a^b f [/math] расходится, то и интеграл [math] \int_a^b g [/math] расходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 56
[math]\triangleleft[/math]

Теорема об абсолютной сходимости[править]

???

Теорема:
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 60
[math]\triangleleft[/math]

Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость[править]

Виноградов т 2 стр 65

Признаки Дирихле и Абеля[править]

Теорема (Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов):
Пусть [math]f\in C[a,b),\ g\in C^1[a,b),\ g[/math] монотонна.

1. Признак Дирихле. Если функция [math]F(A)=\int_a^Af[/math] ограничена, а [math]g(x)\underset{x\to b-}{\to}0[/math], то интеграл [math]\int_a^bfg[/math] сходится.

2. Признак Абеля. Если интеграл [math]\int_a^bf[/math] сходится, а [math]g[/math] ограничена, то интеграл [math]\int_a^bfg[/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Проинтегрируем по частям:

[math]\int_a^bfg=\int_a^bF'g=Fg|_a^b-\int_a^bFg'=-\int_a^bFg'.[/math]

Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла [math]\int_a^bFg'[/math]. Докажем, что последний сходится абсолютно, по признаку сравнения. Пусть [math]K[/math] таково, что [math]|F(x)|\le K \forall x\ge a[/math]. Поскольку [math]g[/math] монотонна, [math]g'[/math] не меняет знака на [math][a,b)[/math]. Следовательно,

[math]\int_a^b|Fg'|\le K\int_a^b|g'|=K\left|\int_a^bg'\right|=K|[g]_a^b|=K|g(a)|.[/math]

2. Так как [math]g[/math] монотонна и ограничена, существует конечный предел [math]\underset{x\to b-}{\lim}g(x)=\alpha[/math]. Функции [math]f[/math] и [math]g-\alpha[/math] удовлетворяют условиям признака Дирихле, поэтому интеграл [math]\int_a^bf(g-\alpha)[/math] сходится, а тогда и интеграл [math]\int_a^bfg[/math] сходится как сумма двух сходящихся:

[math]\int_a^bfg=\int_a^bf(g-\alpha)+\alpha\int_a^bf.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности[править]

Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.[править]

Теорема:
Если [math] P [/math] и [math] P_1 [/math] — квадрируемые фигуры, [math] P_1 \subset P [/math], то [math] S(P_1) \leqslant S(P) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 68
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если квадрируемые фигуры [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] пересекаются по множеству нулевой площади (в частности, по отрезку), то [math] S(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 68
[math]\triangleleft[/math]

Площадь подграфика.[править]

Теорема:
Площадь подграфика функции [math] f [/math] равна [math] S(Q_f) = \int_a^b f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 69-70
[math]\triangleleft[/math]

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах[править]

Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой[править]

Изопериметрическое неравенство[править]

Усиленная теорема о плотности[править]

Вычисление длины пути. Длина графика[править]

Виноградов т 2 стр 84-85

Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка[править]

Теорема:
Если ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] сходится, то [math]\forall m\in\mathbb{N}[/math] ряд [math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] тоже сходится и [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k.[/math] Обратно, если [math]\exists m\in\mathbb{N}[/math] ряд [math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] сходится, то сходится и ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\forall n\gt m\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{n}{\sum}}a_k.[/math]

При [math]n\to\infty[/math] предел обеих частей равенства существует или нет одновременно, то есть сходимость рядов [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] и [math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] равносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] сходится, то [math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}0[/math]. Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=0.[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если ряды [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math], [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k[/math] сходятся, [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math], то ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)[/math] сходится и [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм

[math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k.[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если [math]\{z_k\}[/math] - последовательность комплексных чисел, [math]x_k=\Re z_k,\ y_k=\Im z_k[/math], то сходимость ряда [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k[/math] равносильна одновременной сходимости рядов [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k[/math] и [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k[/math]. При этом [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k+i\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k[/math].
Теорема:
Если ряды [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k,\ \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k[/math] с вещественными числами имеют суммы в [math]\overline{\mathbb{R}},\ a_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}[/math], то [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства надо перейти к пределу в неравенстве для частичных сумм.
[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши[править]

Теорема (Необходимое условие сходимости ряда):
Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] сходится, то [math] a_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 104
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Критерий Больцано-Коши сходимости рядов):
Сходимость ряда [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] равносильна условию [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \gt N \ \forall p \in \mathbb{N} \left | \sum_{k = n + 1}^{n + p} a_k \right | \lt \varepsilon [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 104
[math]\triangleleft[/math]

Признак сравнения сходимости положительных рядов[править]

Теорема (Признак сравнения сходимости положительных рядов):
Пусть [math] a_k, b_k \geqslant 0 [/math] при всех [math] k \in \mathbb{N} [/math], [math] a_k = O(b_k) [/math] при [math] k \to \infty [/math].

1. Если ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} b_k [/math] сходится, то и ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] сходится.

2. Если ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] расходится, то и ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} b_k [/math] расходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 108-109
[math]\triangleleft[/math]

Признак Коши[править]

Теорема (Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов):
Пусть [math] a_k \geqslant 0 [/math] при всех [math] k \in \mathbb{N} [/math], [math] \mathcal{K} = \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} = \sqrt[n]{a_n} [/math].

1. Если [math] \mathcal{K} \gt 1 [/math], то ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] расходится.

2. Если [math] \mathcal{K} \lt 1 [/math], то ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 110
[math]\triangleleft[/math]

Признак Даламбера[править]

Теорема (Признак Даламбера сходимости положительных рядов):
Пусть [math] a_k \geqslant 0 [/math] при всех [math] k \in \mathbb{N} [/math] и существует предел [math] \mathcal{D} = \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{a_{n + 1}}{a_n} \in \left [ 0, + \infty \right ] [/math].

1. Если [math] \mathcal{D} \gt 1 [/math], то ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] расходится.

2. Если [math] \mathcal{D} \lt 1 [/math], то ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 111
[math]\triangleleft[/math]

Интегральный признак Коши[править]

Теорема (Интергральный признак Коши):
Пусть [math]f[/math] монотонна на [math][1, +\infty)[/math]. Тогда ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)[/math] и интеграл [math]\underset{1}{\overset{+\infty}{\int}}f[/math] сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для определенности предположим, что [math]f[/math] убывает. Если [math]f(x_0)\lt 0[/math] при некотором [math]x_0[/math], то в силу убывания [math]\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)\le f(x_0)\lt 0[/math], а тогда и ряд, и интеграл расходятся к [math]-\infty[/math] по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что [math]f\ge0[/math]. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат [math][0,+\infty][/math].

Поскольку [math]f[/math] убывает, [math]\forall k\in\mathbb{N} f(k+1)\le\int_k^{k+1}f\le f(k)[/math].

Возьмём [math]n\in\mathbb{N}[/math] и пронумеруем эти неравенства по [math]k[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math]:

[math]\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k+1)\le\int_1^{n+1}f\le \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}f(k)[/math].

Сделав в левой части замену индекса и устремив [math]n[/math] к [math]\infty[/math], получим неравенство

[math]\underset{k=2}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)\le\int_1^{+\infty}f\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)[/math],

откуда следует, что сумма и интеграл конечны или нет одновременно.
[math]\triangleleft[/math]

Признак Раабе[править]

Теорема (Признак Раабе):
Если [math] a_n \gt 0 [/math] и [math] \underset{n \to \infty}{\lim} n \left ( \frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \right ) = p [/math], то

1. при [math] p \gt 1 [/math] ряд сходится;

2. при [math] p \lt 1 [/math] ряд расходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
???
[math]\triangleleft[/math]

Теорема об абсолютно сходящихся рядах[править]

???

Теорема:
Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 120
[math]\triangleleft[/math]

Признак Лейбница. Следствие.[править]

Теорема (Признак Лейбница сходимости рядов):
Пусть посл-ть [math]\{b_n\}[/math] монотонна, [math]b_n\to0[/math]. Тогда ряд [math]\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}b_k[/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для определенности предположим, что [math]\{b_n\}[/math] убывает, и поэтому [math]b_n \ge 0[/math]. Рассмотрим посл-ть [math]\{S_{2m}\}[/math]. Она возрастает, поскольку

[math]S_{2m}-S_{2(m-1)}=b_{2m-1}-b_{2m}\ge0[/math],

и ограничена сверху, т.к.

[math]S_{2m}=b_1+(-b_2+b_3)+...+(-b_{2m-2}+b_{2m-1})-b_{2m}\le b_1[/math].

Поэтому [math]\{S_{2m}\}[/math] сходится к некоторому пределу [math]S[/math]. Но тогда и [math]S_{2m+1} = S_{2m}+ b_{2m+1}\to S[/math], поскольку [math]b_{2m+1}\to 0[/math]. По лемме о подпоследовательностях [math]S_n\to S[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание 1.

Т.к. [math]S_{2m}=(b_1-b_2) + ... + (b_{2m-1}-b_{2m}\ge0[/math] и [math]S_{2m}\le b_1[/math], по теореме о предельном переходе в неравенстве [math]0 \le S \le b_1[/math].

Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, иногда называют лейбницевскими.

Замечание 2.

Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку:

[math]0\le(-1)^n(S-S_n)\le b_{n+1}[/math].

Для доказательства нужно применить замечание 1 к остатку ряда.

Признаки Дирихле и Абеля для рядов[править]

Теорема (Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов):
1. Признак Дирихле. Если посл-ть [math]A_n=\sum_{k=1}^n a_k[/math] ограничена, а [math]b_n\to0[/math], то ряд [math]\sum_{k=1}^n a_kb_k[/math] сходится. 2. Признак Абеля. Если ряд [math]\sum_{k=1}^n a_k[/math] сходится, а последовательность [math]\{b_k\}[/math] ограничена, то ряд [math]\sum_{k=1}^n a_kb_k[/math] сходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Применим преобразование Абеля, положив [math]A_0=0[/math]:

[math]\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).[/math]

Из того, что [math]\{A_n\}[/math] ограничена, а [math]\{b_n\}[/math] бесконечно мала, следует, что [math]A_nb_n\to0[/math]. Поэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда

[math]\sum_{k=1}^\infty A_k(b_k-b_{k+1}).[/math]

Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть [math]K[/math] таково, что [math]\forall k |A_k|\le K[/math]. Поскольку [math]\{b_k\}[/math] монотонна, все разности [math]b_k-b_{k+1}[/math] одного знака. Следовательно, [math]\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{k+1}-b_k)|\le K\sum_{k=1}^\infty |b_k-b_{k+1}|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{k+1})\right|=K|b_1-\underset{n\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.[/math]

В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму.

2. Так как [math]\{b_k\}[/math] монотонна и ограничена, [math]\exists \underset{n\to\infty}{\lim}b_n=\alpha[/math]. Посл-ти [math]\{a_k\}, \{b_k-\alpha\}[/math] удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha)[/math] сходится, а тогда и ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_kb_k[/math] сходится как сумма двух сходящихся:

[math]\sum_{k=1}^\infty a_kb_k=\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha) + \alpha\sum_{k=1}^\infty a_k.[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками[править]

Определение:
Пусть дан ряд [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] и строго возрастающая последовательность целых чисел [math] \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 = 0 [/math]. Положим [math] A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} [/math]. Тогда говорят, что ряд [math] \sum_{j = 0}^{\infty} [/math] получен из первого ряда группировкой членов (расстановкой скобок).


Теорема (О группировке слагаемых ряда):
1. Если [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = S [/math] ( [math] S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} [/math] или [math] \mathbb{C} \cup \{ \infty \} [/math] ), то и [math] \sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S [/math].

2. Если [math] \sum_{j = 1}^{\infty} A_j = S [/math] ( [math] S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} [/math] или [math] \mathbb{C} \cup \{ \infty \} [/math] ), [math] a_n \to 0 [/math], и существует такое [math] L \in \mathbb{N} [/math], что каждая группа содержит не более [math] L [/math] слагаемых, то и [math] \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S [/math].

3. Если [math] a_k [/math] вещественны, [math] \sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S \in \overline{\mathbb{R}}[/math], а члены в каждой группе одного знака, то и [math] \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 106-107
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: из пункта 1 следует, что если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. (это вообще то?)

Теорема о перестановке слагаемых ряда[править]

Теорема (Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда):
Пусть ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_k[/math] абсолютно сходится к сумме [math]S, \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/math] — биекция. Тогда ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}[/math] абсолютно сходится к [math]S[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный: [math]\forall k\in\mathbb{N} a_k\ge0[/math]. Обозначим [math]S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n a_{\varphi(k)}[/math].

[math]\forall n T_n\le S_m\le S,[/math] где [math]m=max\{\varphi(1),...\varphi(n)\}[/math]. Следовательно, ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}[/math] сходится, и его сумма [math]T\le S[/math].

Доказано, что перестановка положительного ряда не увеличивает его сумму. Применяя это утверждение к перестановке [math]\varphi^{-1}[/math], получаем неравенство [math]S\le T[/math].

2. Пусть члены ряда [math]a_k[/math] вещественны. По признаку сравнения положительные ряды с членами [math](a_k)_\pm[/math] сходятся. По доказанному ряды с членами [math](a_{\varphi(k)})_\pm[/math] сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}[/math] сходится как разность двух сходящихся рядов, причем

[math]\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}=\sum_{k=1}^\infty (a_{\varphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\infty(a_{\varphi(k)})_-=\sum{k=1}^\infty(a_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.[/math]

3. Пусть члены ряда [math]a_k[/math] комплексные, [math]x_k=\Re a_k, y_k=\Im a_k[/math]. Ряды с вещественными членами [math]x_k, y_k[/math] абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (Перестановка членов условно сходящегося ряда):
Пусть ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_k[/math] с вещественными членами сходится условно. Тогда [math]\forall S\in\overline{\mathbb{R}} \exists[/math] перестановка, после которой ряд будет иметь сумму [math]S[/math]. [math]\exists[/math] перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем теорему, когда [math]S\in[0,+\infty)[/math]. Пусть [math]\{b_p\},\{c_q\}[/math] — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; [math]b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}[/math]. Оба ряда [math]\sum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\infty c_q[/math] расходятся. Положим [math]p_0=q_0=0[/math]. Обозначим через [math]p_1[/math] наименьшее натуральное число, для которого [math]\sum_{p=1}^{p_1} b_p\gt S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p[/math].

Затем обозначим через [math]q_1[/math] наименьшее натуральное число, для которого [math]\sum_{q=1}^{q_1}c_q\lt S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p[/math], то есть [math]\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q\lt S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q[/math]. Такие [math]p_1, q_1[/math] найдутся в силу расходимости рядов [math]b_p, c_q[/math].

Продолжим построение неограниченно. Пусть номера [math]p_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{s-1}[/math] уже выбраны. Обозначим через [math]p_s[/math] наименьшее натуральное число, для которого [math]\sum_{p=1}^{p_s}b_p\lt S-\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q[/math], то есть [math]\sum_{p=1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S\lt \sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q[/math].

Затем обозначим через [math]q_s[/math] наименьшее натуральное число, для которого [math]\sum_{q=1}^{q_s}c_q\lt S-\sum_{p=1}^{p_s}b_p[/math], то есть [math]\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q\lt S\le\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q[/math]. Такие [math]p_s, q_s[/math] найдутся в силу расходимости рядов [math]b_p, c_q[/math].

Ряд [math]b_1+...+b_{p_1}+c_1+...+c_{q_1}+...+b_{p_{s-1}+1}+...+b_{p_s}+...+c_{q{s-1}}+...+c_{q_s}+...[/math] получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к [math]S[/math]. Сгруппировав члены одного знака, получим ряд [math]B_1+C_1+...+B_s+C_s+...[/math]; обозначим его частные суммы через [math]T_n[/math]. По построению [math]0\lt T_{2s-1}-S\le b_{p_s}, c_{q_s}\le T_{2s}-S\lt 0[/math]. Поскольку ряд [math]a_k[/math] сходится, [math]b_s,c_s\to0[/math]. Следовательно, [math]T_n\to S[/math]. По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к [math]S[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о произведении рядов[править]

Теорема (Умножение рядов):
Если ряды [math] \sum_{k = 1}^{\infty} a_k [/math] и [math] \sum_{j = 1}^{\infty} b_j [/math] абсолютно сходятся к суммам [math] A [/math] и [math] B [/math], то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к [math] AB [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Виноградов, том 2, стр. 131
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций[править]

Теорема об предельном переходе под знаком интеграла[править]

Теорема о предельном переходе под знаком производной[править]

Определения[править]

Участник:Yulya3102/Матан/Определения