355
правок
Изменения
→Критерий монотонности и строгой монотонности
=== Критерий монотонности и строгой монотонности ===
==== Критерий монотонности функции ====
{{Теорема
|id=критерий монотонности функции
|statement=Пусть функция ''f'' непрерывна на <tex>\left \langle a, b\right \rangle</tex> и дифференцируема на <tex>(a, b)</tex>. Тогда ''f'' возрастает (убывает) на <tex>\left \langle a, b\right \rangle</tex> в том и только в том случае, когда <tex>f'(x) \ge 0 \ (f'(x) \le 0) \ \forall x \in (a, b)</tex>.
|proof=1. Необходимость. Пусть ''f'' возрастает. Возьмем <tex>x \in (a, b)</tex>. Тогда <tex>f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle</tex> , поэтому
<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.
2. Достаточность. Пусть <tex>f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle</tex> . Возьмем <tex>x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2</tex>, и докажем, что <tex>f(x_1) \le f(x_2)</tex>. По теореме Лагранжа <tex>\exists c \in (x_1, x_2)</tex>:
<tex>f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \ge 0</tex>.
Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции <tex>-f</tex>.
}}
==== Следствие: критерий постоянства функции ====
{{Теорема
|id=критерий постоянства функции
|statement=Пусть <tex>f: \langle a, b\rangle \to \mathbb{R}</tex>. Тогда ''f'' постоянна на <tex>\langle a, b\rangle</tex> в том и только том случае, когда <tex>f \in C\langle a, b\rangle</tex> и <tex>f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)</tex>.
|proof=То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если <tex>f \in C\langle a, b\rangle</tex> и <tex>f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)</tex>, то по [[#критерий монотонности функции|критерию монотонности функции]] функция <tex>f</tex> одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на <tex>\langle a, b\rangle</tex>.
}}
==== Критерий строгой монотонности функции ====
{{Теорема
|id=критерий строгой монотонности функции
|statement=Пусть функция ''f'' непрерывна на <tex>\langle a, b\rangle</tex> и дифференцируема на <tex>(a, b)</tex>. Тогда ''f'' строго возрастает на <tex>\langle a, b\rangle</tex> в том и только в том случае, когда:
1) <tex>f'(x) \ge 0 \ \forall x \in (a, b)</tex>;
2) <tex>f'</tex> не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.
|proof=По [[#критерий постоянства функции|критерию постоянства функции]] условие 2) означает, что <tex>f</tex> не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания <tex>f</tex> вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по [[#критерий монотонности функции|критерию монотонности функции]].
Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание <tex>f</tex>. Если возрастание нестрогое, то <tex>\exists x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2, f(x_1) = f(x_2)</tex>. Тогда <tex>f</tex> постоянна на <tex>[x_1, x_2]</tex>, что противоречит условию 2).
}}
=== Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума ===
