Изменения

* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''

* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''

* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''* Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость* Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика.'''* Площадь криволинейного сектора в полярных координатах* Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой* Изопериметрическое неравенство* Усиленная теорема о плотности* Вычисление длины пути. Длина графика* '''Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши'''* '''Признак сравнения сходимости положительных рядов'''* '''Признак Коши'''* '''Признак Даламбера'''* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''* '''Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками'''* '''Теорема о произведении рядов'''* Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций* Теорема об предельном переходе под знаком интеграла* Теорема о предельном переходе под знаком производной

<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>

и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.

Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.

<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.

<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.

<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>

{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}

=== Интегральность Иррациональность числа пи ===

<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Вики]В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. 

== Определения и факты =Теорема об абсолютной сходимости ===???{{Теорема|statement=Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 60}}

=== Список Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость ===Виноградов т 2 стр 65 === Признаки Дирихле и Абеля ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов|statement=Пусть <tex>f\in C[a,b),\ g\in C^1[a,b),\ g</tex> монотонна. '''1. Признак Дирихле.''' Если функция <tex>F(A)=\int_a^Af</tex> ограничена, а <tex>g(x)\underset{x\to b-}{\to}0</tex>, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится. '''2. Признак Абеля.''' Если интеграл <tex>\int_a^bf</tex> сходится, а <tex>g</tex> ограничена, то интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится.|proof=1. Проинтегрируем по частям: <tex>\int_a^bfg=\int_a^bF'g=Fg|_a^b-\int_a^bFg'=-\int_a^bFg'.</tex> Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла <tex>\int_a^bFg'</tex>. Докажем, что последний сходится абсолютно, по признаку сравнения. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>|F(x)|\le K \forall x\ge a</tex>. Поскольку <tex>g</tex> монотонна, <tex>g'</tex> не меняет знака на <tex>[a,b)</tex>. Следовательно, <tex>\int_a^b|Fg'|\le K\int_a^b|g'|=K\left|\int_a^bg'\right|=K|[g]_a^b|=K|g(a)|.</tex> 2. Так как <tex>g</tex> монотонна и ограничена, существует конечный предел <tex>\underset{x\to b-}{\lim}g(x)=\alpha</tex>. Функции <tex>f</tex> и <tex>g-\alpha</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле, поэтому интеграл <tex>\int_a^bf(g-\alpha)</tex> сходится, а тогда и интеграл <tex>\int_a^bfg</tex> сходится как сумма двух сходящихся:

* Ряды Тейлора основных элементарных функций* Локальный экстремум* Выпуклое множество в R<tex>\int_a^bfg=\int_a^m* Надграфик и подграфик* Дробление параллелепипеда* Что значит, что одно дробление мельче другого* Интеграл функции по параллелепипеду* Множество объема 0* Множество меры 0* Кусочноbf(g-непрерывная функция* Почти первообразная\alpha)+\alpha\int_a^bf.</tex>* Несобственный интеграл}}

=== Ряды Тейлора основных элементарных функций Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности ===

=== Локальный экстремум Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность. ==={{Теорема|statement=Если <tex> P </tex> и <tex> P_1 </tex> — квадрируемые фигуры, <tex> P_1 \subset P </tex>, то <tex> S(P_1) \leqslant S(P) </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 68}}

=== Точка возрастания функции ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Если квадрируемые фигуры <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)P_1 </tex>. Если и <tex>\exists \deltaP_2 </tex>0:\ \forall x\inпересекаются по множеству нулевой площади (x_0-\deltaв частности,x_0по отрезку)\ f(x)\le f(x_0)</tex> и , то <tex>\forall x\inS(x_0,x_0+P_1 \deltacup P_2)\ f= S(xP_1)\ge f+ S(x_0P_2)</tex>.|proof=Виноградов, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>том 2, стр.68

=== Стационарная точка Площадь подграфика. ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Площадь подграфика функции <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если равна <tex>f'S(x_0Q_f)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>\int_a^b f</tex>. Если <tex>f'(x_0)|proof=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>Виноградов, том 2, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>стр.69-70

=== Выпуклая функция Площадь криволинейного сектора в полярных координатах ==={{Определение|id=определение выпуклости|definition=Функция <tex>f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</tex> называется:

<tex>f(tx_1+(1=== Вычисление длины пути. Длина графика ===Виноградов т 2 стр 84-t)x_2) < tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>.85

=== Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка ==={{Теорема|statement=Если выполняются противоположные неравенстваряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то функция <tex>f\forall m\in\mathbb{N}</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' или '''строго выпуклой вверх''' на ряд <tex>\langle a,bunderset{k=m+1}{\overset{\infty}{\ranglesum}}a_k</tex>тоже сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k.</tex>

Часто функцииОбратно, которые только что были названы выпуклыми внизесли <tex>\exists m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, называют просто '''выпуклыми'''то сходится и ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>.|proof=<tex>\forall n>m\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{n}{\sum}}a_k.</tex> При <tex>n\to\infty</tex> предел обеих частей равенства существует или нет одновременно, а тето есть сходимость рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> равносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.}}{{Теорема|statement=Если ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, что были названы выпуклыми вверхто <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}0</tex>. Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.|proof=<tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k- '''вогнутыми'''\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=0.</tex>}}{{Теорема|statement=Если ряды <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>, <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> сходятся, <tex>\alpha,\beta\in\mathbb{R}</tex>, то ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)</tex> сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k.</tex>|proof=Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм <tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k.</tex>}}{{Теорема|statement=Если <tex>\{z_k\}</tex> - последовательность комплексных чисел, <tex>x_k=\Re z_k,\ y_k=\Im z_k</tex>, то сходимость ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k</tex> равносильна одновременной сходимости рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k</tex> и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>. При этом <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k+i\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex>.}}{{Теорема|statement=Если ряды <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k,\ \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> с вещественными числами имеют суммы в <tex>\overline{\mathbb{R}},\ a_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>.|proof=Для доказательства надо перейти к пределу в неравенстве для частичных сумм.

=== Надграфик и подграфик Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши ==={{Теорема|about=Необходимое условие сходимости ряда|statement=Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> сходится, то <tex> a_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104}}

=== Опорная прямая ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение опорной прямойКритерий Больцано-Коши сходимости рядов|definitionstatement=Пусть Сходимость ряда <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbbsum_{Rk = 1},^{\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y = \ell(x)</tex>, называется '''опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0infty} a_k </tex>, еслиравносильна условию

<tex>\forall x\varepsilon > 0 \ \exists N \in \langle a,bmathbb{N} \ \forall n > N \ \rangle forall p \ f(x_0)=in \ell(x_0),mathbb{N} \ f(x)left | \gesum_{k = n + 1}^{n + p} a_k \ell(x)right | < \varepsilon </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104}}

1. Если ряд <tex>\forall xsum_{k = 1}^{\in \langle ainfty} b_k </tex> сходится,b\rangle\backslashто и ряд <tex> \sum_{k = 1}^{x_0\infty} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)a_k </tex>,сходится.

то прямая называется '''строго опорной''' для функции 2. Если ряд <tex>f\sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> в точке расходится, то и ряд <tex>x_0\sum_{k = 1}^{\infty} b_k </tex>расходится.|proof=Виноградов, том 2, стр.108-109

=== Первообразная Признак Коши ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение первообразнойРадикальный признак Коши сходимости положительных рядов|definitionstatement=Пусть <tex>f, F:a_k \langle a,b\ranglegeqslant 0 </tex> при всех <tex> k \toin \mathbb{RN}</tex>. Функция , <tex>F\mathcal{K} = \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} = \sqrt[n]{a_n} </tex> называется '''первообразной''' функции . 1. Если <tex>f\mathcal{K} > 1 </tex> на , то ряд <tex>\langle a,bsum_{k = 1}^{\rangleinfty} a_k </tex>, еслирасходится.

2. Если <tex>\forall x\in\langle amathcal{K} < 1 </tex>,bто ряд <tex> \ranglesum_{k = 1}^{\ F'(x)=f(x)infty} a_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр.110

=== Таблица первообразных Признак Даламбера ===1. {{Теорема|about=Признак Даламбера сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex> и существует предел <tex>\int0dxmathcal{D} =C\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{a_{n + 1}}{a_n} \in \left [ 0, + \infty \right ] </tex>.

21. Если <tex>\int x^mathcal{D} > 1 </tex>, то ряд <tex> \alpha dxsum_{k ={x1}^{\alpha+1}\over\alpha+1infty}+C,\ \alpha\ne-1a_k </tex>расходится.

32. Если <tex>\int mathcal{dxD} < 1 </tex>, то ряд <tex> \over xsum_{k = 1}=ln^{\vert x\vert+Cinfty} a_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 111}}

4=== Интегральный признак Коши ==={{Теорема|about = Интергральный признак Коши|statement = Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, +\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\infty}{\int a^x dx}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof =Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>, то в силу убывания <tex>\underset{a^x\over to+\infty}{\ln alim}f(x)\le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-\infty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\ge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+C\infty]</tex>.

5. Поскольку <tex>f</tex> убывает, <tex>\int forall k\in\mathbb{N} f(k+1)\sin x dx=-le\cos xint_k^{k+C1}f\le f(k)</tex>.

6. Возьмём <tex>n\int in\cos x dx=\sin x+Cmathbb{N}</tex> и пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>:

7. <tex>\int underset{k=1}{\overset{n}{dx\over sum}}f(k+1)\cos le\int_1^2 x{n+1}f\le \underset{k=1}{\tan x+Coverset{n}{\sum}}f(k)</tex>.

8. Сделав в левой части замену индекса и устремив <tex>n</tex> к <tex>\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+Cinfty</tex>, получим неравенство

9. <tex>\intunderset{k=2}{dx\overoverset{\sqrtinfty}{1-x^2\sum}}=f(k)\le\arcsin xint_1^{+C\infty}f\le \underset{k=-1}{\arccos x+Coverset{\infty}{\sum}}f(k)</tex>,

10откуда следует, что сумма и интеграл конечны или нет одновременно. <tex>\int{dx\over 1+x^2}}=\arctan x+C</tex>

11. === Признак Раабе ==={{Теорема|about=Признак Раабе|statement=Если <tex> a_n > 0 </tex> и <tex>\intunderset{dxn \overto \sqrtinfty}{x^2\pm1}lim}=n \lnleft ( \vert xfrac{a_n}{a_{n +\sqrt{x^2\pm11}}- 1 \vert+Cright ) = p </tex>, то

121. при <tex>\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{p > 1+x\over1-x}\right\vert+C</tex>ряд сходится;

2. при <tex> p < 1 </tex> ряд расходится.|proof=???}} === Дробление отрезка Теорема об абсолютно сходящихся рядах ===???{{ОпределениеТеорема|idstatement=определение дробленияЕсли ряд сходится абсолютно, то он сходится.|definitionproof=Виноградов, том 2, стр. 120}} === Признак Лейбница. Следствие. ==={{Теорема|about=Признак Лейбница сходимости рядов|statement=Пусть посл-ть <tex>[a\{b_n\}</tex> монотонна, <tex>b_n\to0</tex>. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}b_k</tex> сходится.|proof=Для определенности предположим,b]что <tex>\{b_n\}</tex> убывает, и поэтому <tex>b_n \ge 0</tex>. Рассмотрим посл- невырожденный отрезокть <tex>\{S_{2m}\}</tex>. Набор точекОна возрастает, поскольку

<tex>\tau S_{2m}-S_{2(m-1)}= \b_{x_k\2m-1}^n_-b_{k=02m}:\ a=x_0<x_1<...<x_n=bge0</tex>,

называется '''дроблением''' отрезка <tex>[aи ограничена сверху,b]</tex>т. Отрезки <tex>[x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])</tex> называют '''отрезками дробления''', через <tex>\Delta x_k</tex> обозначается длина <tex>k</tex>-го отрезка дробленияк. Величина

<tex>\lambda S_{2m}= \lambda_\tau=\undersetb_1+(-b_2+b_3)+...+(-b_{2m-2}+b_{0\le k\le n2m-1})-b_{max2m}\Delta x_kle b_1</tex>.

называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления Поэтому <tex>\tau{S_{2m}\}</tex> сходится к некоторому пределу <tex>S</tex>. Набор точек Но тогда и <tex>\xiS_{2m+1} =\S_{\xi_k\2m}^+ b_{n-2m+1}_{k=0}\to S</tex>, таких что поскольку <tex>\xi_k\in[x_k,x_b_{k2m+1}]\ \forall k\in[to 0:n-1]</tex>, называется '''оснащением''' дробления. Дробление вместе с его оснащениемПо [[#Простейшие свойства суммы ряда: линейность, то есть пара свойства остатка|лемме о подпоследовательностях]] <tex>(S_n\tau, \xi)to S</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''.

Т.к. <tex>S_{2m}=== Что значит(b_1-b_2) + ... + (b_{2m-1}-b_{2m}\ge0</tex> и <tex>S_{2m}\le b_1</tex>, что одно дробление мельче другого ===по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве|теореме о предельном переходе в неравенстве]] <tex>0 \le S \le b_1</tex>.

Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, иногда называют ''лейбницевскими''. '''Замечание 2.''' ''Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку:'' <tex>0\le(-1)^n(S-S_n)\le b_{n+1}</tex>. Для доказательства нужно применить замечание 1 к остатку ряда. === Сумма Дарбу Признаки Дирихле и Абеля для рядов ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение сумм ДарбуПризнаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|definitionstatement='''1. Признак Дирихле.''' Если посл-ть <tex>A_n=Пусть \sum_{k=1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\to0</tex>f: [a,b]то ряд <tex>\tosum_{k=1}^n a_kb_k</tex> сходится. '''2. Признак Абеля.''' Если ряд <tex>\mathbbsum_{Rk=1}^n a_k</tex> сходится,а последовательность <tex>\ {b_k\tau}</tex> ограничена, то ряд <tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex> сходится.|proof=1. Применим [[#Преобразование Абеля|преобразование Абеля]], положив <tex>A_0=0</tex>: <tex>\sum_{x_kk=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k=1}^n_{n-1}A_k(b_k-b_{k=0+1}).</tex> - дробление  Из того, что <tex>\{A_n\}</tex>[aограничена,b]а <tex>\{b_n\}</tex>бесконечно мала, следует,что <tex>A_nb_n\to0</tex>. Поэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда <tex>\sum_{k=1}^\infty A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>

Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>\forall k |A_k|\le K</tex>. Поскольку <tex>M_k=\underset{xb_k\in[x)k}</tex> монотонна,x_все разности <tex>b_k-b_{k+1}]</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{\supk+1}f(x-b_k),|\ m_k=le K\undersetsum_{xk=1}^\in[x_k,x_infty |b_k-b_{k+1}]|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{\infk+1}f(x),\ kright|=K|b_1-\in[0:underset{n-1]\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.</tex>.

2. Так как <tex>\{b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>S=S_\tau(f)=exists \underset{k=0n\to\infty}{\oversetlim}b_n=\alpha</tex>. Посл-ти <tex>\{n-1a_k\}, \{b_k-\alpha\sum}}M_k\Delta x_k</tex> и удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>s\sum_{k=s_1}^\tauinfty a_k(fb_k-\alpha)=</tex> сходится, а тогда и ряд <tex>\undersetsum_{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k^\Delta x_kinfty a_kb_k</tex>сходится как сумма двух сходящихся:

называются '''верхней и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу''' функции <tex>f</tex>, отвечающими дроблению <tex>\tausum_{k=1}^\infty a_kb_k=\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha) + \alpha\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex>.

=== Верхний интеграл Дарбу Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===

|iddefinition=определение интеграла Дарбу|definitionПусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 =Пусть 0 </tex>. Положим <tex>f:[aA_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j,b]\toj \in \mathbb{RZ}_{+}</tex>. ВеличиныТогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).}}

{{Теорема|about=О группировке слагаемых ряда|statement=1. Если <tex>I\sum_{k = 1}^*{\infty} a_k =S </tex> ( <tex> S \undersetin \overline{\taumathbb{R}} \cup \{\infinfty \} </tex> или <tex> \mathbb{C}S_\taucup \{ \infty \} </tex>), то и <tex>I_*=\undersetsum_{\tauj = 0}^{\supinfty}s_\tauA_j = S </tex>.

называются '''верхним 2. Если <tex> \sum_{j = 1}^{\infty} A_j = S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), <tex> a_n \to 0 </tex>, и нижним интегралами Дарбу''' функции существует такое <tex>fL \in \mathbb{N} </tex>., что каждая группа содержит не более <tex> L </tex> слагаемых, то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty}a_k = S </tex>.

=== Интегрируемая по Риману функция ==={{Определение|id=определение интегрируемой по Риману функции|definition=Пусть 3. Если <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}a_k </tex>. Если существует предел интегральных сумм вещественны, <tex>\undersetsum_{j = 0}^{\lambdainfty} A_j = S \to0}in \overline{\limmathbb{R}}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>а члены в каждой группе одного знака, то функция <tex>f</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>[a,b]</tex>, а число <tex>I</tex> - '''интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана)''' от функции <tex>f</tex> по отрезку <tex>[a,b]</tex> и обозначается <tex>\intsum_{k = 0}^b_af{\infty} a_k = S </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 106-107

=== Риманова сумма Теорема о перестановке слагаемых ряда ==={{ОпределениеТеорема|idabout=определение сумм РиманаПерестановка членов абсолютно сходящегося ряда|definitionstatement=Пусть ряд <tex>f\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>S, \varphi:[a\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай,b]когда ряд положительный: <tex>\toforall k\in\mathbb{RN} a_k\ge0</tex>. Обозначим<tex>S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n a_{\varphi(k)}</tex>. Суммы

<tex>\sigmaforall n T_n\le S_m\le S,</tex> где <tex>m=max\sigma_{\tauvarphi(f1),...\xivarphi(n)=\underset}</tex>. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=01}{^\overset{n-1}infty a_{\sum}}fvarphi(\xi_kk)}</tex> сходится, и его сумма <tex>T\Delta x_kle S</tex>.

называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции Доказано, что перестановка положительного ряда не увеличивает его сумму. Применяя это утверждение к перестановке <tex>f\varphi^{-1}</tex>, отвечающими оснащенному дроблению получаем неравенство <tex>(\tau,S\xi)le T</tex>.}}

=== Колебание функции на множестве ==={{Определение2. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex> вещественны. По [[#Признак сравнения сходимости положительных рядов|id=определение колебания функции на множестве|definition=Пусть признаку сравнения]] положительные ряды с членами <tex>(a_k)_\pm</tex> сходятся. По доказанному ряды с членами <tex>f:D(a_{\subsetvarphi(k)})_\mathbbpm</tex> сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд <tex>\sum_{Rk=1}^\toinfty a_{\mathbb{Rvarphi(k)}</tex>. Величинасходится как разность двух сходящихся рядов, причем

<tex>\omegasum_{k=1}^\infty a_{\varphi(fk)_D}=\undersetsum_{k=1}^\infty (a_{x,y\in Dvarphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\sup}infty(fa_{\varphi(ck)})_-f=\sum{k=1}^\infty(ya_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex>

называется '''колебанием''' функции 3. Пусть члены ряда <tex>fa_k</tex> на множестве комплексные, <tex>Dx_k=\Re a_k, y_k=\Im a_k</tex>. Ряды с вещественными членами <tex>x_k, y_k</tex> абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.

{{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k= Множество меры 1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\forall S\in\overline{\mathbb{R}} \exists</tex> перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>S</tex>. <tex>\exists</tex> перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.|proof=Докажем теорему, когда <tex>S\in[0 ,+\infty)</tex>. Пусть <tex>\{b_p\},\{c_q\}</tex> — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\sum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\infty c_q</tex> расходятся. Положим <tex>p_0=q_0=0</tex>. Обозначим через <tex>p_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_1} b_p>S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p</tex>. Затем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_1, q_1</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

=== Интеграл с переменным верхним пределом ==={{Определение|definition=Продолжим построение неограниченно. Пусть номера <tex>E\subset\mathbbp_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{Rs-1}</tex> - невырожденный промежуток уже выбраны. Обозначим через <tex>p_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>f:E\tosum_{p=1}^{p_s}b_p<S-\mathbbsum_{q=1}^{Rq_s-1},\ fc_q</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в то есть <tex>E,\ asum_{p=1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S<\in Esum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Функция

Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\Phi(x)sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\int_asum_{p=1}^xf{p_s}b_p</tex>,то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s}c_q< S\le\ xsum_{p=1}^{p_s}b_p+\in Esum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''Ряд <tex>b_1+...+b_{p_1}+c_1+...+c_{q_1}+...+b_{p_{s-1}+1}+...+b_{p_s}+...+c_{q{s-1}}+...+c_{q_s}+...</tex> получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к <tex>S</tex>. Сгруппировав члены одного знака, получим ряд <tex>B_1+C_1+...+B_s+C_s+...</tex>; обозначим его частные суммы через <tex>T_n</tex>. По построению <tex>0<T_{2s-1}-S\le b_{p_s}, c_{q_s}\le T_{2s}-S<0</tex>. Поскольку ряд <tex>a_k</tex> сходится, <tex>b_s,c_s\to0</tex>. Следовательно, <tex>T_n\to S</tex>. По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к <tex>S</tex>.

=== Кусочно-непрерывная функция Теорема о произведении рядов ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Функция Умножение рядов|statement=Если ряды <tex>f:[a,b]\tosum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и <tex> \mathbbsum_{j = 1}^{R\infty}b_j </tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex>[a,b]то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex> AB </tex>.|proof=Виноградов, если множество ее точек разрыва пусто или конечнотом 2, и все имеющиеся разрывы - первого родастр.131

=== Почти первообразная Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций ===  === Теорема об предельном переходе под знаком интеграла ===  === Теорема о предельном переходе под знаком производной ===

==Определения = Несобственный интеграл ==={{Определение|definition=Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)<Участник:Yulya3102/tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af<Матан/tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>\mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}}Определения]]