Изменения

* Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции* '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''

* '''Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей'''* '''Теорема о формуле трапеций'''

* '''Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям'''* '''Признак сравнения сходимости несобственного интеграла'''* '''Теорема об абсолютной сходимости'''* Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость* Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности* '''Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.'''* '''Площадь подграфика.'''* Площадь криволинейного сектора в полярных координатах* Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой* Изопериметрическое неравенство* Усиленная теорема о плотности* Вычисление длины пути. Длина графика* '''Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши'''* '''Признак сравнения сходимости положительных рядов'''* '''Признак Коши'''* '''Признак Даламбера'''* '''Признак Раабе'''* '''Теорема об абсолютно сходящихся рядах'''* '''Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками'''* '''Теорема о произведении рядов'''* Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций* Теорема об предельном переходе под знаком интеграла* Теорема о предельном переходе под знаком производной

<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>

и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.

Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.

<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.

<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.

<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>

{{Теорема|about=О свойствах неопределённого интеграла|statement=Пусть функции <tex> f, g: \left \langle a, b \right \rangle \to \mathbb{R} </tex> имеют первообразные, <tex> \alpha \in \mathbb{R} </tex>. Тогда 1. Функция <tex> f + g </tex> имеет первообразную и <tex> \int (f + g) = \int f + \int g </tex>; 2. Функция <tex> \alpha f </tex> имеет первообразную и при <tex> \alpha \neq 0 </tex> <tex> \int \alpha f = \alpha \int f </tex>.|proof=Виноградов, том 1, стр. 254}}

=== Интегральность Иррациональность числа пи ===

<tex>\pi=~\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{1}{n}\left({(2n)!!\over(2n-1)!!}\right)^2.</tex>

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Вики]В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. 

{{Теорема|about=== Признак сравнения сходимости Линейность несобственного интеграла |statement=Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> сходятся, <tex> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>, то интеграл <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) </tex> сходится и <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) =\alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}}

{{Теорема|about=Монотонность несобственного интеграла|statement= Определения и факты =Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> существуют в <tex> \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex> f \leqslant g </tex> на <tex> [a, b) </tex>, то <tex> \int_a^b f \leqslant \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}}

{{Теорема|about=Интегрирование по частям в несобственном интеграле|statement=Пусть <tex> f, g </tex> дифференцируемы на <tex> [a, b), \ f', g' \in R_{loc} [a, b) </tex>. Тогда <tex> \int_a^b f g' = Список ==fg |_a^b - \int_a^b f' g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 53}}

=== Локальный экстремум ==={{Определение|definition= 2. Если интеграл <mathtex>x_0</math> называется '''точкой локального максимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x\in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le int_a^b f(x_0);</math><math>x_0</mathtex> называется '''точкой локального минимума''' функции <math>fрасходится,то и интеграл </math> если существует проколотая окрестность <mathtex>\dot{U}(x_0)int_a^b g </mathtex> такая, что: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0)расходится.</math>Если неравенства выше строгие|proof=Виноградов, том 2, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственностр.56

=== Точка возрастания функции Теорема об абсолютной сходимости ===???{{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex>f:\langle aЕсли интеграл сходится абсолютно,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>то он сходится. Если <tex>\exists \delta>0:\ \forall x\in(x_0-\delta|proof=Виноградов,x_0)\ f(x)\le f(x_0)</tex> и <tex>\forall x\in(x_0том 2,x_0+\delta)\ f(x)\ge f(x_0)</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>стр.60

=== Стационарная точка Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость ===Виноградов т 2 стр 65 === Признаки Дирихле и Абеля ==={{ОпределениеТеорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов|definitionstatement=Пусть <tex>f:\langle in C[a,b\rangle\to\mathbb{R}),\ x_0g\in(C^1[a,b),\ g</tex>монотонна. Если <tex>f'(x_0)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется  '''стационарной точкой1. Признак Дирихле.''' функции Если функция <tex>fF(A)=\int_a^Af</tex>. Если ограничена, а <tex>f'g(x_0x)=\underset{x\to b-}{\to}0</tex> или , то интеграл <tex>f\int_a^bfg</tex> не дифференцируема в точке сходится. '''2. Признак Абеля.''' Если интеграл <tex>x_0\int_a^bf</tex>сходится, то а <tex>x_0g</tex> называется '''критической точкой''' функции ограничена, то интеграл <tex>f\int_a^bfg</tex>сходится.}}|proof=1. Проинтегрируем по частям:

=== Выпуклая функция ==={{Определение|id=определение выпуклости|definition=Функция <tex>f: \langle a,int_a^bfg=\int_a^bF'g=Fg|_a^b-\rangle \to int_a^bFg'=-\mathbb{R}int_a^bFg'.</tex> называется:

Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла <tex>\int_a^bFg'''выпуклой вниз''' на </tex>\langle a. Докажем, что последний сходится абсолютно,b\rangleпо признаку сравнения. Пусть <tex>K</tex>таково, если что <tex>|F(x)|\le K \forall x_1x\ge a</tex>. Поскольку <tex>g</tex> монотонна,x_2\in\langle <tex>g'</tex> не меняет знака на <tex>[a,b\rangle, \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство. Следовательно,

<tex>f(tx_1+(1-t)x_2)\int_a^b|Fg'|\le tf(x_1)+(1-t)fK\int_a^b|g'|=K\left|\int_a^bg'\right|=K|[g]_a^b|=K|g(x_2a)|.</tex>;

'''строго выпуклой вниз''' на 2. Так как <tex>g</tex> монотонна и ограничена, существует конечный предел <tex>\langle a,underset{x\to b-}{\lim}g(x)=\ranglealpha</tex>, если . Функции <tex>f</tex> и <tex>g-\forall x_1alpha</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле,x_2\in\langle a,b\rangle поэтому интеграл <tex>\ int_a^bf(x_1g-\ne x_2alpha)</tex> сходится, а тогда и интеграл <tex>\ t\in(0,1)int_a^bfg</tex> выполняется неравенствосходится как сумма двух сходящихся:

<tex>f\int_a^bfg=\int_a^bf(tx_1+(1g-t)x_2) < tf(x_1\alpha)+(1-t)f(x_2)\alpha\int_a^bf.</tex>.}}

Часто функции=== Площадь и ее свойства: монотонность, которые только что были названы выпуклыми внизусиленная аддитивность. ==={{Теорема|statement=Если <tex> P </tex> и <tex> P_1 </tex> — квадрируемые фигуры, называют просто '''выпуклыми'''<tex> P_1 \subset P </tex>, а тето <tex> S(P_1) \leqslant S(P) </tex>.|proof=Виноградов, что были названы выпуклыми вверхтом 2, - '''вогнутыми'''стр.68

=== Выпуклое множество в R^m ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Множество Если квадрируемые фигуры <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> пересекаются по множеству нулевой площади (на прямойв частности, на плоскостипо отрезку), в трехмерном пространствето <tex> S(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) называется '''выпуклым'''</tex>.|proof=Виноградов, если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезоктом 2, их соединяющийстр.68

=== Надграфик и подграфик ======= Надграфик =Площадь подграфика. ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть Площадь подграфика функции <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Множество равна <tex>\{S(x,yQ_f)= \in\mathbb{R}int_a^2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\}</tex> называется '''надграфиком''' функции <tex>f</tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 69-70

<tex>Q_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x)\}</tex>== Площадь криволинейного сектора в полярных координатах === === Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой ===

=== Опорная прямая Усиленная теорема о плотности ==={{Определение|id=определение опорной прямой|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y = \ell(x)</tex>, называется '''опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>, если

<tex>\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)</tex>== Вычисление длины пути.Длина графика ===Виноградов т 2 стр 84-85

=== Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка ==={{Теорема|statement=Если жеряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится, то <tex>\forall m\in\mathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> тоже сходится и <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k.</tex>

Обратно, если <tex>\forall xexists m\in \langle amathbb{N}</tex> ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> сходится,bто сходится и ряд <tex>\rangleunderset{k=1}{\backslashoverset{\infty}{x_0\sum}} a_k</tex>.|proof=<tex>\ f(x_0)forall n>m\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k = \underset{k=1}{\overset{m}{\ell(x_0),sum}}a_k + \underset{k=m+1}{\ f(x)>overset{n}{\ell(x)sum}}a_k.</tex>,

При <tex>n\to\infty</tex> предел обеих частей равенства существует или нет одновременно, то прямая называется '''строго опорной''' для функции есть сходимость рядов <tex>f\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> равносильна. Равенство в точке условии получается переходом к пределу.}}{{Теорема|statement=Если ряд <tex>x_0\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>сходится, то <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}0</tex>. Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.|proof=<tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{m}{\sum}}a_k\underset{m\to\infty}{\to}\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k-\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k=0.</tex>

<tex>\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha\underset{k= Первообразная ==1}{\overset{n}{\sum}}a_k+\beta\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}b_k.</tex>}}{{ОпределениеТеорема|idstatement=определение первообразной|definitionЕсли <tex>\{z_k\}</tex> - последовательность комплексных чисел, <tex>x_k=\Re z_k,\ y_k=Пусть \Im z_k</tex>f, F:то сходимость ряда <tex>\langle a,bunderset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k</tex> равносильна одновременной сходимости рядов <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k</tex> и <tex>\rangleunderset{k=1}{\tooverset{\mathbbinfty}{R\sum}}y_k</tex>. Функция При этом <tex>F\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}z_k=\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_k+i\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}y_k</tex> называется '''первообразной''' функции .}}{{Теорема|statement=Если ряды <tex>f\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k,\ \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex> на с вещественными числами имеют суммы в <tex>\langle aoverline{\mathbb{R}},b\ranglea_k\le b_k \forall k\in\mathbb{N}</tex>, еслито <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k\le \underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>.|proof=Для доказательства надо перейти к пределу в неравенстве для частичных сумм.}}

=== Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши ==={{Теорема|about=Необходимое условие сходимости ряда|statement=Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если ряд <tex>\forall xsum_{k = 1}^{\ininfty} a_k </tex> сходится, то <tex> a_n \underset{n \langle a,bto \rangleinfty}{\ F'(x)=f(x)to} 0 </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104

{{Теорема|about=== Таблица первообразных ==Критерий Больцано-Коши сходимости рядов|statement=1. Сходимость ряда <tex>\int0dxsum_{k =C1}^{\infty} a_k </tex>равносильна условию

2. <tex>\int x^forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \alpha dx=mathbb{x^N} \ \forall n > N \ \forall p \in \mathbb{\alpha+1N}\overleft | \alphasum_{k = n +1}^{n +C,p} a_k \ right | < \alpha\ne-1varepsilon </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 104}}

3. === Признак сравнения сходимости положительных рядов ==={{Теорема|about=Признак сравнения сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k, b_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex>k \int in \mathbb{dx\over xN}</tex>, <tex> a_k =lnO(b_k) </tex> при <tex> k \vert xto \vert+Cinfty </tex>.

41. Если ряд <tex>\int asum_{k = 1}^x dx{\infty} b_k </tex> сходится, то и ряд <tex> \sum_{k =1}^{a^x\over \ln ainfty}+Ca_k </tex>сходится.

52. Если ряд <tex>\int sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> расходится, то и ряд <tex> \sin x dxsum_{k =-1}^{\cos x+Cinfty} b_k </tex>расходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 108-109}}

6. === Признак Коши ==={{Теорема|about=Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex>, <tex>\int mathcal{K} = \underset{n \to \infty}{\overline{\cos x dxlim}} =\sin x+Csqrt[n]{a_n} </tex>.

71. Если <tex>\int mathcal{dxK} > 1 </tex>, то ряд <tex> \over sum_{k = 1}^{\cos ^2 xinfty}=\tan x+Ca_k </tex>расходится.

82. Если <tex>\int mathcal{dxK} < 1 </tex>, то ряд <tex> \over sum_{k = 1}^{\sin ^2xinfty}=-\cot x+Ca_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 110}}

9. === Признак Даламбера ==={{Теорема|about=Признак Даламбера сходимости положительных рядов|statement=Пусть <tex> a_k \geqslant 0 </tex> при всех <tex> k \in \mathbb{N} </tex> и существует предел <tex>\intmathcal{D} = \underset{n \to \infty}{dx\overlim} \sqrtfrac{a_{n + 1-x^2}}={a_n} \in \arcsin xleft [ 0, +C=-\arccos x+Cinfty \right ] </tex>.

101. Если <tex>\intmathcal{dxD} > 1 </tex>, то ряд <tex> \over sum_{k = 1+x}^2{\infty}=\arctan x+Ca_k </tex>расходится.

112. Если <tex>\intmathcal{dx\overD} < 1 </tex>, то ряд <tex> \sqrtsum_{xk = 1}^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1infty}\vert+Ca_k </tex>сходится.|proof=Виноградов, том 2, стр. 111}}

12=== Интегральный признак Коши ==={{Теорема|about = Интергральный признак Коши|statement = Пусть <tex>f</tex> монотонна на <tex>[1, +\infty)</tex>. Тогда ряд <tex>\intunderset{k=1}{\overset{\infty}{dx\over1-x^2sum}}=f(k)</tex> и интеграл <tex>\underset{1}{\overset{+\over2infty}{\lnint}}f</tex> сходятся или расходятся одновременно.|proof =Для определенности предположим, что <tex>f</tex> убывает. Если <tex>f(x_0)<0</tex> при некотором <tex>x_0</tex>, то в силу убывания <tex>\underset{x\leftto+\vertinfty}{1+\lim}f(x)\over1le f(x_0)<0</tex>, а тогда и ряд, и интеграл расходятся к <tex>-x}\rightinfty</tex> по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что <tex>f\vertge0</tex>. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат <tex>[0,+C\infty]</tex>.

=== Дробление отрезка ===Поскольку <tex>f</tex> убывает, <tex>\forall k\in\mathbb{N} f(k+1)\le\int_k^{Определениеk+1}f\le f(k)</tex>.|id=определение дробления|definition=Пусть Возьмём <tex>[a,b]n\in\mathbb{N}</tex> и пронумеруем эти неравенства по <tex>k</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> - невырожденный отрезок. Набор точек:

<tex>\tau underset{k= 1}{\overset{n}{x_k\sum}}f(k+1)\le\int_1^n_{n+1}f\le \underset{k=01}:{\ a=x_0<x_1<...<x_n=boverset{n}{\sum}}f(k)</tex>.

называется '''дроблением''' отрезка Сделав в левой части замену индекса и устремив <tex>[a,b]n</tex>. Отрезки к <tex>[x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])infty</tex> называют '''отрезками дробления''', через <tex>\Delta x_k</tex> обозначается длина <tex>k</tex>-го отрезка дробления. Величинаполучим неравенство

<tex>\lambda underset{k= 2}{\overset{\infty}{\lambda_sum}}f(k)\tau=le\undersetint_1^{0+\infty}f\le \underset{k\le n-=1}{max\overset{\infty}{\Delta x_ksum}}f(k)</tex>,

называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления <tex>\tau</tex>. Набор точек <tex>\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>откуда следует, таких что <tex>\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1]</tex>, называется '''оснащением''' дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара <tex>(\tau, \xi)</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''сумма и интеграл конечны или нет одновременно.

=== Дробление параллелепипеда Признак Раабе ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Признак РаабеПусть параллелепипед задан двумя точками |statement=Если <tex>a,b\in\mathbb{R}^ma_n > 0 </tex>. '''Дроблением параллелепипеда''' называется множество дроблений и <tex>\lambda_1,...,underset{n \to \infty}{\lim} n \left ( \frac{a_n}{a_{n + 1}} - 1 \lambda_mright ) = p </tex>, где то 1. при <tex>\lambda_ip > 1 </tex> - дробление отрезка ряд сходится; 2. при <tex>[a_i, b_i]p < 1 </tex>ряд расходится.|proof=???

=== Что значит, что одно дробление мельче другого Теорема об абсолютно сходящихся рядах ===//для отрезка???{{ОпределениеТеорема|statement=Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.|definitionproof=Дробление <tex>a</tex> мельче дробления <tex>b</tex>Виноградов, том 2, если набор точек дробления <tex>a</tex> содержится в наборе этих точек для <tex>b</tex>стр.120

 === Признак Лейбница. Следствие. ==={{Теорема|about=Признак Лейбница сходимости рядов|statement=Пусть посл-ть <tex>\{b_n\}</tex> монотонна, <tex>b_n\to0</tex>. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}b_k</для параллелепипедаtex> сходится.|proof=Для определенности предположим, что <tex>\{b_n\}</tex> убывает, и поэтому <tex>b_n \ge 0</tex>. Рассмотрим посл-ть <tex>\{ОпределениеS_{2m}\}</tex>. Она возрастает, поскольку|definition<tex>S_{2m}-S_{2(m-1)}=b_{2m-1}-b_{2m}\ge0</tex>,Дробление мельчеи ограничена сверху, если для всех дроблений из т.к. <tex>S_{2m}=b_1+(-b_2+b_3)+...+(-b_{2m-2}+b_{2m-1})-b_{2m}\lambdale b_1</tex> верно. Поэтому <tex>\{S_{2m}\}</tex> сходится к некоторому пределу <tex>S</tex>. Но тогда и <tex>S_{2m+1} = S_{2m}+ b_{2m+1}\to S</tex>, поскольку <tex>b_{2m+1}\to 0</tex>. По [[#Простейшие свойства суммы ряда: линейность, что дробление из одного мельче дробления из другогосвойства остатка|лемме о подпоследовательностях]] <tex>S_n\to S</tex>.

Т.к. <tex>M_kS_{2m}=\underset{x\in[x(b_1-b_2)k,x_+ ... + (b_{k+2m-1}]}-b_{\sup2m}f(x),\ m_k=\undersetge0</tex> и <tex>S_{x\in[x_k,x_{k+1}]2m}{\inf}f(x)le b_1</tex>,\ k\inпо [[0Участник:n-1Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой функции. Предельный переход в неравенстве|теореме о предельном переходе в неравенстве]]<tex>0 \le S \le b_1</tex>.

называются '''верхней Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу'совпадает с ним по знаку:'' функции <tex>f</tex>, отвечающими дроблению <tex>\tau</tex>.}}

=== Верхний интеграл Дарбу ==={{Определение|id=определение интеграла Дарбу|definition=Пусть <tex>f:[a,b]0\tole(-1)^n(S-S_n)\mathbble b_{Rn+1}</tex>. Величины

называются === Признаки Дирихле и Абеля для рядов ==={{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|statement='''верхним и нижним интегралами Дарбу1. Признак Дирихле.''' функции Если посл-ть <tex>A_n=\sum_{k=1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\to0</tex>, то ряд <tex>f\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex>сходится.}}

=== Интегрируемая по Риману функция ==={{Определение|id=определение интегрируемой по Риману функции|definition=Пусть '''2. Признак Абеля.''' Если ряд <tex>f:[a,b]\to\mathbbsum_{Rk=1}^n a_k</tex>. Если существует предел интегральных сумм сходится, а последовательность <tex>\underset{b_k\lambda\to0}{\lim}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>ограничена, то функция ряд <tex>f\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>сходится.|proof=1. Применим [[a,b#Преобразование Абеля|преобразование Абеля]]</tex>, а число положив <tex>IA_0=0</tex> - '''интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана)''' от функции <tex>f</tex> по отрезку <tex>[a,b]</tex> и обозначается <tex>\int^b_af</tex>.}}:

<tex>\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k= Интеграл функции по параллелепипеду ===1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>

=== Риманова сумма ===Из того, что <tex>\{{Определение|id=определение сумм Римана|definition=Пусть A_n\}</tex>f:[aограничена,b]а <tex>\to{b_n\mathbb{R}</tex> бесконечно мала, следует, что <tex>A_nb_n\to0</tex>. СуммыПоэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда

<tex>\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\undersetsum_{k=01}{^\oversetinfty A_k(b_k-b_{n-k+1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k.</tex>

называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>fK</tex>таково, отвечающими оснащенному дроблению что <tex>(\tau,forall k |A_k|\xi)le K</tex>.Поскольку <tex>\{b_k\}</tex> монотонна, все разности <tex>b_k-b_{k+1}</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{k+1}-b_k)|\le K\sum_{k=1}^\infty |b_k-b_{k+1}|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{k+1})\right|=K|b_1-\underset{n\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.</tex>

=== Колебание функции на множестве ==={{Определение|id=определение колебания функции на множестве|definition=Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex>В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму. Величина

2. Так как <tex>\omega(f)_D{b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>\exists \underset{n\to\infty}{\lim}b_n=\undersetalpha</tex>. Посл-ти <tex>\{xa_k\},y\in D{b_k-\alpha\}</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>\sum_{k=1}^\sup}(finfty a_k(x)b_k-f(y)\alpha)</tex>сходится, а тогда и ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</tex> сходится как сумма двух сходящихся:

называется '''колебанием''' функции <tex>f\sum_{k=1}^\infty a_kb_k=\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha) + \alpha\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex> на множестве <tex>D</tex>.

=== Множество объема 0 Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===

Множество Пусть дан ряд <tex>A\subset\mathbbsum_{Rk = 1}^n{\infty} a_k </tex> имеет объём 0, если и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex>\forall{ n_j \varepsilon>} _{j = 0}^{\ infty}, \existsn_0 = 0 </tex> покрытие множества . Положим <tex>AA_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex> брусами . Тогда говорят, что ряд <tex>B_1,...,B_k:\undersetsum_{ij =1}{\overset{k0}^{\sum}infty} V(B_i)<\varepsilon</tex>получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).

{{Теорема|about=О группировке слагаемых ряда|statement=1. Если <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), то и <tex> \sum_{j = Множество меры 0 }^{\infty} A_j =S </tex>. 2. Если <tex> \sum_{j = 1}^{\infty} A_j = S </tex> ( <tex> S \in \overline{\mathbb{R}} \cup \{ \infty \} </tex> или <tex> \mathbb{C} \cup \{ \infty \} </tex> ), <tex> a_n \to 0 </tex>, и существует такое <tex> L \in \mathbb{N} </tex>, что каждая группа содержит не более <tex> L </tex> слагаемых, то и <tex> \sum_{k =0}^{\infty} a_k =S </tex>. 3. Если <tex> a_k </tex> вещественны, <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} A_j = S \in \overline{\mathbb{ОпределениеR}}</tex>, а члены в каждой группе одного знака, то и <tex> \sum_{k = 0}^{\infty} a_k = S </tex>.|definitionproof=ГоворятВиноградов, том 2, стр. 106-107}} Замечание: из пункта 1 следует, что множество если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. (это вообще то?) === Теорема о перестановке слагаемых ряда ==={{Теорема|about=Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>E\subsetsum_{k=1}^\infty a_k</tex> абсолютно сходится к сумме <tex>S, \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция. Тогда ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> абсолютно сходится к <tex>S</tex>.|proof=1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный: <tex>\forall k\in\mathbb{RN}a_k\ge0</tex> имеет '''нулевую меру'''. Обозначим<tex>S_n=\sum_{k=1}^n a_k, если T_n=\sum_{k=1}^n a_{\varphi(k)}</tex>. <tex>\foralln T_n\le S_m\le S,</tex> где <tex>m=max\{\varphi(1),...\varphi(n)\varepsilon}</tex>0. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> множество сходится, и его сумма <tex>ET\le S</tex> можно заключить в . Доказано, что перестановка положительного ряда не более чем счетное объединение интерваловувеличивает его сумму. Применяя это утверждение к перестановке <tex>\varphi^{-1}</tex>, получаем неравенство <tex>S\le T</tex>. 2. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex> вещественны. По [[#Признак сравнения сходимости положительных рядов|признаку сравнения]] положительные ряды с членами <tex>(a_k)_\pm</tex> сходятся. По доказанному ряды с членами <tex>(a_{\varphi(k)})_\pm</tex> сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}</tex> сходится как разность двух сходящихся рядов, причем <tex>\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}=\sum_{k=1}^\infty (a_{\varphi(k)})_+-\sum_{k=1}^\infty(a_{\varphi(k)})_-=\sum{k=1}^\infty(a_k)_+-\sum{k=1}^\infty(a_k)_-=\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex> 3. Пусть члены ряда <tex>a_k</tex> комплексные, суммарная длина которых меньше <tex>x_k=\Re a_k, y_k=\varepsilonIm a_k</tex>. Ряды с вещественными членами <tex>x_k, y_k</tex>абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.

{{Теорема|about=Перестановка членов условно сходящегося ряда|statement=Пусть ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k</tex> с вещественными членами сходится условно. Тогда <tex>\forall S\in\overline{\mathbb{R}} \exists</tex> перестановка, после которой ряд будет иметь сумму <tex>S</tex>. <tex>\exists</tex> перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.|proof=Докажем теорему, когда <tex>S\Phi(xin[0,+\infty)</tex>. Пусть <tex>\{b_p\},\{c_q\}</tex> — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; <tex>b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}</tex>. Оба ряда <tex>\sum{p=1}^\infty b_p, \sum_{q=1}^\infty c_q</tex> расходятся. Положим <tex>p_0=q_0=0</tex>. Обозначим через <tex>p_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_1} b_p>S\ge\sum{p=1}^{p_1-1} b_p</tex>. Затем обозначим через <tex>q_1</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S-\sum_{p=1}^{p_1}b_p</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1}c_q<S\le\sum_{p=1}^{p_1}b_p+\sum_{q=1}^{q_1-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_1, q_1</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.  Продолжим построение неограниченно. Пусть номера <tex>p_1,...,p_{s-1},q_1,...q_{s-1}</tex> уже выбраны. Обозначим через <tex>p_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p<S-\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>, то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s-1}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q\le S<\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Затем обозначим через <tex>q_s</tex> наименьшее натуральное число, для которого <tex>\sum_{q=1}^{q_s}c_q<S-\int_asum_{p=1}^xf{p_s}b_p</tex>,то есть <tex>\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\ xsum_{q=1}^{q_s}c_q< S\in Ele\sum_{p=1}^{p_s}b_p+\sum_{q=1}^{q_s-1}c_q</tex>. Такие <tex>p_s, q_s</tex> найдутся в силу расходимости рядов <tex>b_p, c_q</tex>.

называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''Ряд <tex>b_1+...+b_{p_1}+c_1+...+c_{q_1}+...+b_{p_{s-1}+1}+...+b_{p_s}+...+c_{q{s-1}}+...+c_{q_s}+...</tex> получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к <tex>S</tex>. Сгруппировав члены одного знака, получим ряд <tex>B_1+C_1+...+B_s+C_s+...</tex>; обозначим его частные суммы через <tex>T_n</tex>. По построению <tex>0<T_{2s-1}-S\le b_{p_s}, c_{q_s}\le T_{2s}-S<0</tex>. Поскольку ряд <tex>a_k</tex> сходится, <tex>b_s,c_s\to0</tex>. Следовательно, <tex>T_n\to S</tex>. По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к <tex>S</tex>.

=== Кусочно-непрерывная функция Теорема о произведении рядов ==={{ОпределениеТеорема|definitionabout=Функция Умножение рядов|statement=Если ряды <tex>f:[a,b]\tosum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и <tex> \mathbbsum_{j = 1}^{R\infty}b_j </tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на абсолютно сходятся к суммам <tex> A </tex> и <tex> B </tex>[a,b]то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к <tex> AB </tex>.|proof=Виноградов, если множество ее точек разрыва пусто или конечнотом 2, и все имеющиеся разрывы - первого родастр.131

=== Почти первообразная Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций ===  === Теорема об предельном переходе под знаком интеграла ===  === Теорема о предельном переходе под знаком производной ===

==Определения = Несобственный интеграл ==={{Определение|definition=Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)<Участник:Yulya3102/tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af<Матан/tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>\mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.}}Определения]]