Редактирование: Участник:Yulya3102/Матан3сем

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Основные вопросы ==
 
== Основные вопросы ==
 +
=== Список теорем ===
 +
 +
==== Ненаписанные теоремы ====
 +
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
 +
 +
Теорема о пространстве линейных отображений
 +
 +
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — без теоремы Ролля
 +
 +
Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах — не знаю, что хочет Костик, но знаю, что думает Виноградов
 +
 +
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
 +
 +
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре — проверить текст леммы и та ли она вообще
 +
 +
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов — проверить формулировку
 +
 +
==== Теоремы без доказательств ====
 +
Теорема о дифференцировании функционального ряда
 +
 +
Теорема о почленном предельном переходе в суммах
 +
 +
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
 +
 +
Метод суммирования Абеля {{---}} проверить первую строчку док-ва
 +
 +
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
 +
 +
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
 +
 +
Экспонента, синус, косинус. Свойства.
 +
 +
Необходимое условие дифференцируемости.
 +
 +
Достаточное условие дифференцируемости
 +
 +
Дифференцирование композиции
 +
 +
Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
 +
 +
Экстремальное свойство градиента
 +
 +
Независимость частных производных от порядка дифференцирования
 +
 +
Полиномиальная формула
 +
 +
Лемма о дифференцировании «сдвига»
 +
 +
Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
 +
 +
Теорема о пространстве линейных отображений
 +
 +
Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
 +
 +
Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях {{---}} проверить первую часть док-ва
 +
 +
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
 +
 +
Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах
 +
 +
Достаточное условие экстремума
 +
 +
Теорема о сохранении области
 +
 +
Теорема о диффеоморфизме
 +
 +
Теорема о локальной обратимости
 +
 +
Теорема о неявном отображении
 +
 +
Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
 +
 +
Необходимое условие относительного локального экстремума
 +
 +
Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
 +
 +
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
 +
 +
Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
 +
 +
Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
 +
 +
Лемма о гусенице
 +
 +
Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
 +
 +
Лемма о похожести путей, близких к данному
 +
 +
Равенство интегралов по гомотопным путям
 +
 +
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
 +
 +
Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
 +
 +
Лемма о локализации (в методе Лапласа)
 +
 +
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
 +
 +
Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами
 +
 +
Формула Стирлинга для Гамма-функции
  
 
=== Признак Вейерштрасса ===
 
=== Признак Вейерштрасса ===
Строка 23: Строка 124:
  
 
из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
 
из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
 
Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 46: Строка 145:
  
 
=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
 
=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
 +
Проверить пункты про сходимость
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).  
+
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций). <tex> \sum u_n(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>. <tex> \sum u'_n(x) = \varphi(x)</tex> при <tex> x \in [a, b] </tex>,<tex> \sum u'_n(x) </tex> — равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex> к <tex> \varphi(x) </tex>. Тогда <tex> S(x) \in C'([a, b]) </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
 
 
1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x)  = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>
 
 
 
2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>
 
 
 
Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
 
|proof=
 
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
 
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>
 
 
 
* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>
 
 
 
* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.
 
 
 
<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 81: Строка 166:
  
 
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
 
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
 
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел
 
  
* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
 
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>
 
 
<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>
 
 
Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти
 
 
<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>
 
 
<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>
 
 
<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>
 
 
При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>
 
 
Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>
 
 
<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
 
 
<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>
 
 
Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]
 
 
<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 160: Строка 219:
 
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>
 
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>
  
1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>
+
1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>
  
 
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>
 
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>
  
 
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
 
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
 
|proof=
 
Применяя преобразование Абеля
 
 
<tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex>
 
 
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex>
 
 
<tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex>
 
 
Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем
 
 
<tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex>
 
 
Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что
 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) :
 
|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex>
 
 
Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 192: Строка 231:
 
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
 
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>
+
<tex>a_n, b_n = x^n ?; \ X = [0, 1]</tex>
  
<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>
+
<tex> \sum a_n x^n </tex> — по пр. Абеля равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>
  
 
<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
 
<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
Строка 202: Строка 241:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>
+
<tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произв. ст. ряд <tex> [ a_k \in \mathfrak{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \Re; z, z_0 \in \Re ] </tex>
  
Возможны три случая:
+
Возьмём три случая:
  
1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится
+
1) <tex> \forall z \in \mathfrak{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится
  
2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>
+
2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>
  
 
3) <tex> \exists R </tex>  <tex> 0 < R < + \infty </tex> при
 
3) <tex> \exists R </tex>  <tex> 0 < R < + \infty </tex> при
Строка 222: Строка 261:
 
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>
 
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>
  
* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>
+
Признак Коши:  
 +
<tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>
  
 
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
 
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
Строка 240: Строка 280:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:
+
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — р. сх-ся
 +
 
 +
Тогда:
  
1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>
+
1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> р. сх-ся в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>
  
 
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
 
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
 
|proof=
 
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]
+
(1) Признак Вейерштрасса
  
 
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
 
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
Строка 262: Строка 304:
  
 
=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
 
=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
 
|statement=
 
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:
 
 
<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>
 
 
<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>
 
 
(уравнения Коши-Римана)
 
 
|proof=
 
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
 
}}
 
 
 
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
 
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>
+
Рассмотрим ряды <tex> \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n (z - z_0)^n = f(z), \ R \in [0; + \infty], \ |z - z_0| < R </tex> и <tex> (\sum_{n=1}^{+ \infty} n a_n(z - z_0)^{n-1} </tex> Тогда:
 
 
Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
 
 
 
Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
 
 
 
[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
 
|proof=
 
<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>
 
 
 
<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>
 
 
 
Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>
 
 
 
Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>
 
 
 
<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>
 
  
<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>
+
1) радиус сходимости второго ряда равен <tex> R </tex>
  
<tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
+
2) при <tex> |z - z_0| < R \ f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
 
}}
 
}}
  
 
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
 
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>
+
<tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>
  
1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>
+
<tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} </tex>
  
1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>
+
<tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) </tex>
  
1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>
+
<tex> \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
  
{{Теорема
+
<tex> \mathrm{exp}(z) 0, \ \forall z \in \mathbb{C} </tex>
|statement=
 
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
 
|proof=
 
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>
 
 
 
<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>
 
  
<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
+
<tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>
}}
 
  
* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>
+
<tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>
  
2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>
+
<tex> \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) </tex>
  
2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>
+
<tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>
  
2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>
+
<tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>
  
2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>
+
Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>
 
 
2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>
 
  
 
<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>
 
<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>
Строка 340: Строка 343:
 
<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>
 
<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>
  
2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>
+
<tex> |T(x)| = 1 </tex>
 +
 
 +
<tex> \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>
 +
 
 +
<tex> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} </tex>
 +
 
 +
<tex> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 </tex>
  
<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>
+
<tex> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... </tex>
  
2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>
+
<tex> \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... </tex>
  
<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>
+
<tex> \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...</tex>
  
-----
+
<tex> |x| < 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... </tex>
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>
 
  
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>
+
<tex> |x| < 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... </tex>
  
<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>
+
<tex> |x| < 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... </tex>
  
 
=== Единственность производной ===
 
=== Единственность производной ===
Строка 387: Строка 395:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>
+
<tex> f : E \subset \Re^m \rightarrow \Re </tex> — дифф. <tex> a \in Int(E) </tex>
  
Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>
+
Тогда <tex> \forall x \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>
  
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
+
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \Re^l </tex> — дифф. <tex>(a)</tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
+
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
  
 
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
 
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
  
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].
+
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из опр. частн. производных
  
 
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
 
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
Строка 405: Строка 413:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
+
<tex> f : E \subset \Re^m \rightarrow \Re; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>
|proof=
 
<tex> m = 2 </tex>
 
 
 
<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа
 
 
 
// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка
 
 
 
<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>
 
  
<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>
+
В шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в <tex> (\cdot) a</tex>
  
<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>  
+
Тогда <tex> f </tex> дифф. в <tex> (\cdot) \ a</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 423: Строка 423:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
+
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = C_A || x || </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально
 
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально
Строка 441: Строка 441:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>
+
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I </tex>, <tex> G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I </tex>, <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> a </tex>, <tex> G </tex> дифференцируемо в <tex> b </tex>. Тогда <tex> G \circ F </tex> дифференцируемо в <tex> a </tex>, и при этом <tex> (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) F'(a) </tex>
 
 
<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>
 
 
 
<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;
 
 
 
<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>
 
 
 
Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
 
|proof=
 
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>
 
 
 
<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>
 
 
 
<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>
 
 
 
<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>
 
 
 
1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>
 
 
 
2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>
 
 
 
<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>
 
 
 
<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>
 
 
 
<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>
 
 
 
<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
 
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>
 
 
 
<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 480: Строка 449:
 
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:
 
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:
  
1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>
+
1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>
  
 
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>
 
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>
Строка 490: Строка 459:
 
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
 
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
  
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + h) - f(a)) =  
+
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =  
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>
+
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) =  
 
+
(\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>
<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>
 
  
 
<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>
 
<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>
Строка 503: Строка 471:
 
2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>
 
2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>
  
Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>
+
Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \Re \rightarrow \Re^l </tex>
  
 
<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
 
<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
Строка 511: Строка 479:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>
+
Пусть <tex> a, b \in \mathbb{R} </tex>, <tex> a < b </tex>, вектор-функция <tex> f: [a, b] \to \mathbb{R}^m </tex> непрерывна на <tex> [a, b] </tex> и дифференцируема на <tex> (a, b) </tex>. Тогда найдётся такая точка <tex> c \in (a, b) </tex>, что <tex> || f(b) - f(a) || \leqslant || f'(c) || \cdot |b - a| </tex>.
 
 
Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
 
|proof=
 
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>
 
 
 
<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>
 
 
 
<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
 
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>
 
 
 
<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>
 
 
 
// Если ехать быстро и криво
 
 
 
<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>
 
 
 
<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>
 
 
 
<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>
 
 
 
// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
 
 
}}
 
}}
  
Строка 538: Строка 485:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>
+
Пусть функция <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex> дифференцируема в точке <tex> x \in \operatorname{Int} D, \ \operatorname{grad} f(x) \neq \mathbb{O}_n </tex>. Тогда для любого <tex> h \in \mathbb{R}^n: |h| = 1</tex> верно <tex> \ -|\operatorname{grad} f(x)| \leqslant D_h f(x) \leqslant | \operatorname{grad} f(x)| </tex>.
 
 
<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление
 
 
 
Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.
 
 
 
Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
 
|proof=
 
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>
 
 
 
// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 554: Строка 491:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>
+
Пусть <tex> r - 1 \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{r} (D), \ i_1, ... , i_r \in [1 : n] </tex>, набор <tex> (j_1, ..., j_r) </tex> получен из набора <tex> (i_1, ... i_r) </tex> перестановкой. Тогда для всех <tex> x \in D </tex> верно <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{j_1, ..., j_r}^r f(x) </tex>.
 
 
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>
 
 
 
<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>
 
 
 
Тогда эти две частные производные равны.
 
|proof=
 
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>
 
 
 
фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>
 
 
 
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>
 
 
 
<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки
 
 
 
<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>
 
 
 
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>
 
 
 
<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
 
 
}}
 
}}
* Замечание 1:
 
 
Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>
 
 
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>
 
 
* Замечание 2:
 
 
Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>
 
 
Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>
 
 
и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка
 
 
Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>
 
  
 
=== Полиномиальная формула ===
 
=== Полиномиальная формула ===
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
+
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a </tex> — мультииндекс, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} </tex>
|proof=
 
Индукция по <tex>r</tex>
 
 
 
<tex> r = 1 </tex>
 
 
 
<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>
 
 
 
<tex> r = r + 1 </tex>
 
 
 
<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>
 
 
 
<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m} + 1} = </tex>
 
 
 
<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;
 
 
 
<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс
 
 
 
<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
 
 
}}
 
}}
* Замечание 1
 
 
<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>
 
 
* Замечание 2
 
 
<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>
 
 
<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>
 
  
 
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
 
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
Строка 629: Строка 504:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
 
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
 
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
 
 
}}
 
}}
  
Строка 638: Строка 511:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
 
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=
 
 
<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>
 
 
<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>
 
 
Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.
 
 
 
}}
 
}}
  
Строка 653: Строка 518:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
+
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 659: Строка 524:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть
+
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \alpha_{m, n} </tex><br>
 
+
т.е. <tex> \begin{matrix} 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \emptyset_{m, n} \\ 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| \\ 3. ||A + B|| \le ||A|| + ||B|| \end{matrix} </tex><br>
<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>
+
<tex> (2) A \in \alpha_{m, n}, B \in \alpha_{n, k}: ||BA||_{m, k} \le ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
 
 
<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>
 
 
 
<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>
 
 
 
<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
 
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>(1)</tex>
 
<tex>(1)</tex>
  
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
+
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \emptyset </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
 
 
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]
 
  
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>
+
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>
  
<tex>(2)</tex>
+
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex>
  
<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
+
что такое C у меня не написано =(
 
}}
 
}}
  
Строка 689: Строка 546:
 
<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>
 
<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>
  
Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
+
Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F(c)||\cdot|b - a| </tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>
 
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>
  
<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
+
<tex> |F(b) - F(a)| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
 +
 
 +
<tex> \mathbb{L}_{m, m} : \ Gh(m) = \{ A \in \mathbb{L}_{m, m} : \exists A^{-1} \} </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 706: Строка 565:
  
 
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
 
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=
 
 
Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>
 
 
Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>
 
 
Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)
 
 
Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>
 
 
Само доказательство:
 
 
<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>
 
 
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).
 
 
 
<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 729: Строка 570:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:
+
<tex> F : E </tex> — откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex> — дифф. <tex> E </tex>.
  
<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>
+
Тогда эквивалентны: <tex>I) F \in C^{-1}(E) \\ II) F' : E \rightarrow \alpha_{m, n} </tex> — непрерывна.
 
 
<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
 
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex> I \Rightarrow II </tex>
 
<tex> I \Rightarrow II </tex>
Строка 743: Строка 582:
 
<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>
 
<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>
  
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>
+
<tex> ||F'(x) - F(\overline{x})|| < \epsilon </tex>
  
 
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>
 
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>
  
<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>
+
<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{min}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>
  
 
<tex> II \Rightarrow I </tex>
 
<tex> II \Rightarrow I </tex>
  
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>
+
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex>
 
 
<tex> F'(x)e_i =  \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\  \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>
 
  
<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
+
<tex> F'(x)e_i = </tex><tex> \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\  \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex><tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
  
 
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
 
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
Строка 761: Строка 598:
  
 
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
 
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.
 
 
Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)
 
 
|proof=
 
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
 
}}
 
'''Теорема Ролля:'''
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.
+
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \operatorname{Int} D </tex> — точка экстремума <tex> f, \ k \in [1 : n] </tex>. Тогда если <tex> D_k f(x_0) </tex> существует, то <tex> D_k f(x_0) = 0 </tex>.
 
 
Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
 
|proof=
 
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
 
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
 
 
}}
 
}}
 +
Теорема Ролля — ???
  
=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
+
=== Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах ===
 +
Наверное, это не совсем то
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> <br>
+
Если форма <tex> K </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma > 0 </tex>, что <tex> K(h) \geqslant \gamma |h|^2 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
 
|proof=
 
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>
 
 
 
(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)
 
 
 
<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>
 
 
 
<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>
 
 
 
<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>
 
 
 
2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)
 
 
 
<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>
 
 
 
<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 808: Строка 614:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.
+
Пусть <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(2)}(D), \ x_0 \in D </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(x_0) = \mathbb{O}_n </tex>). Тогда справедливы следующие утверждения:
 
 
Тогда справедливы следующие утверждения:
 
 
 
1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).
 
 
 
2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).
 
 
 
3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.
 
 
 
4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
 
|proof=
 
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>
 
  
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>
+
1) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> положительно определённая, то <tex> x_0 </tex> — точка строгого минимума <tex> f </tex>.
  
Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>
+
2) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> отрицательно определённая, то <tex> x_0 </tex> — точка строгого максимума <tex> f </tex>.
  
<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>
+
3) Если форма <tex> d^2 f(x_0) </tex> неопределённая, то <tex> x_0 </tex> — не точка экстремума <tex> f </tex>.
 
 
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>
 
 
 
Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума
 
 
 
<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>
 
 
 
<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>
 
 
 
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>
 
 
 
<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 859: Строка 641:
  
 
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
 
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
 +
 +
<tex>F: \forall x \in 0; det(F'(x)) \ne 0 </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 865: Строка 649:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
 
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
 
* Замечание
 
 
1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное
 
 
2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
 
|proof=
 
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?
 
 
<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>
 
 
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>
 
 
<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>
 
 
Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)
 
 
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>
 
 
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>
 
 
<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>
 
 
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>
 
 
В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.
 
 
На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>
 
 
<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]
 
 
<tex> \begin{cases}  2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>
 
 
<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
 
 
}}
 
}}
  
Строка 904: Строка 654:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.
+
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда:
 
 
Тогда:
 
  
 
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
 
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
  
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
+
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} (y_0) </tex>
|proof=
 
 
 
1) <tex> r = 1 </tex>
 
 
 
<tex>F(O) = O' </tex> — открытое
 
 
 
Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>
 
 
 
Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.
 
 
 
* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.
 
 
 
<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>
 
 
 
<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>
 
 
 
<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>
 
 
 
* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности
 
 
 
Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.
 
 
 
Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>
 
 
 
<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>
 
 
 
<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>
 
 
 
Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>
 
 
 
<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>
 
 
 
<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>
 
 
 
<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>
 
 
 
2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
 
 
}}
 
}}
  
Строка 953: Строка 664:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>
+
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) </tex> (т.е. <tex> F </tex> 1 раз непрерывно дифференцируемо на <tex> O </tex>, а его первая производная непрерывна на <tex> D </tex>), <tex> x_0 \in O, \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F | _U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
 
 
Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
 
|proof=
 
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима
 
 
 
[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]
 
 
 
<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.
 
 
 
<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>
 
 
 
<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>
 
 
 
<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>
 
 
 
<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>
 
 
 
<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>
 
 
 
<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
 
 
}}
 
}}
* Замечание
 
 
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.
 
 
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле
 
  
 
=== Теорема о неявном отображении ===
 
=== Теорема о неявном отображении ===
Строка 988: Строка 674:
 
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>
 
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>
  
'''Раньше тут был забыт минус!'''
+
2) <tex> \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>
 
 
 
|proof=
 
 
 
Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.
 
 
 
<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>
 
 
 
<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.
 
 
 
<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>
 
 
 
По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.
 
 
 
Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.
 
 
 
Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.
 
 
 
Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 1024: Строка 691:
  
 
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
 
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
 
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>
 
 
<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>
 
 
<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях
 
 
<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>
 
 
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
 
 
Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.
 
 
<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>
 
 
<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>
 
 
<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>
 
 
<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>
 
 
<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>
 
 
<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>
 
 
<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>
 
 
<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 1073: Строка 712:
 
<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
 
<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
  
<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
+
<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Phi'(a_x) = 0 </tex>
  
<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
+
<tex> \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
  
<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
+
Тут должно быть ещё четыре строчки. Но я в них не уверен.
 
 
<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>
 
 
 
При таком <tex> \lambda : </tex>
 
 
 
<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 1095: Строка 728:
  
 
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
 
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
 
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
  
<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению
+
2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь <tex> \gamma </tex> на <tex> \gamma_1 </tex> и <tex> \gamma_2 </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
 
 
2) Аддитивность при дроблении пути:  
 
 
 
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>
 
 
 
<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>
 
 
 
<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
 
 
 
<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>
 
  
3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>
+
3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex>, то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.
 
 
Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.
 
 
 
<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>
 
  
 
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
 
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
Строка 1119: Строка 740:
 
<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
 
<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
 
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
 
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
+
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [a; b + d - c]
\end{cases} </tex>
+
\end{cases} </tex>,
 
 
то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
 
 
 
<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>
 
 
 
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)
 
 
 
<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>
 
 
 
<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>
 
 
 
<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>
 
  
5) Оценка интеграла:
+
то <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.
{{
 
Теорема
 
|statement=
 
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.
 
  
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
+
5) Оценка интеграла: <tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.
|proof=
 
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)|  \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 1148: Строка 751:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.
+
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to 0 </tex> — кусочно гладкий.
  
 
Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
 
Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
Строка 1166: Строка 769:
  
 
=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
 
=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
+
=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
Теорема
+
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:
+
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
 +
}}
  
1) V потенциально в <tex> O </tex>
+
=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}, \ i, j \in [1 : m] </tex>
 +
}}
  
2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)
+
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклая, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
 +
}}
  
3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
+
=== Лемма о гусенице ===
|proof=
+
{{Лемма
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]
+
|statement=
 +
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
 +
}}
  
<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно
+
=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
 +
}}
  
<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>
+
=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma </tex>, то есть <tex> | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
 +
}}
  
<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>
+
=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно (петельно) гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>.
 +
}}
  
<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно
+
=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
 +
}}
  
<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>
+
Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in V'(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.
  
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
+
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> O </tex> — дополнение круга <tex> \overline{B(0; 1/2)} </tex>. Тогда <tex> O </tex> неодносвязна.
 +
}}
  
Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>
+
=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx </tex>
 +
}}
  
Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>
+
=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
 +
}}
  
<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?
+
=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> строго непрерывно убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0, \ (c > 0) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} L \cdot e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{cA^{\frac{q + 1}{r}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{r}) </tex>.
 +
}}
  
Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)
+
=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
 
+
{{Теорема
Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>
+
|statement=
 
+
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>
 
 
 
<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>
 
 
 
<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt  = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>
 
 
 
<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
 
 
}}
 
}}
  
=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
+
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Лемма
+
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
+
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
+
}}
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>
 
  
<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>
+
== Определения и факты ==
 
+
=== Список ненаписанных определений ===
<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность
+
Комплексная производная
 
 
<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>
 
  
<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>
+
Односвязная область — проверить символьное пояснение
  
<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>
+
=== Равномерно сходящийся ряд ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Последовательность функций <tex> f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) </tex> называется равномерно сходящейся на множестве <tex> X </tex>, если существует предельная функция <tex> f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) </tex> и для любого числа <tex> \varepsilon > 0 </tex> можно указать число <tex> N = N(\varepsilon) </tex> такое, что <tex> |f(x) - f_n(x) | < \varepsilon </tex> при <tex> n > N </tex> и <tex> x \in X </tex>. В этом случае пишут <tex> f_n(x) \rightrightarrows f(x) </tex>.
  
<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
+
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве <tex> X </tex>, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.
 
}}
 
}}
  
=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
+
=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
+
Рассмотрим ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>:
|proof=
 
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
 
}}
 
  
{{Лемма
+
1) <tex> \sum a_n(x) </tex> равномерно сходится, <tex> x \in X </tex>
|statement=
 
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
 
|proof=
 
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>
 
  
<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>
+
2) <tex> b_n(x) </tex> равномерно ограничена и монотонна по <tex> n </tex>
  
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>
+
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
 
 
<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t  dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
 
 
}}
 
}}
  
=== Лемма о гусенице ===
+
=== Радиус сходимости степенного ряда ===
{{Лемма
+
см. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного ряда|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3.
|statement=
 
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
 
|proof=
 
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>
 
  
<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>
+
=== Формула Адамара ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Число <tex> R </tex> — радиус сходимости.
 +
<tex> R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} </tex>
 +
}}
  
<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>
+
=== Комплексная производная ===
 +
http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)
  
Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>
+
=== Экспонента, синус и косинус комплексной переменной ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} </tex>
  
<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие
+
<tex> \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) </tex>
  
Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>
+
<tex> \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) </tex>
 +
}}
  
<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
+
=== Отображение, бесконечно малое в точке ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> a \in E </tex>. <tex> \varphi </tex> — бесконечно малое при <tex> x \to a </tex>, если <tex> \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l </tex>. (<tex> \mathbb{O}_l </tex> — <tex> l </tex>-мерный ноль)
 
}}
 
}}
  
=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
+
=== o(h) при h->0 ===
{{Лемма
+
{{Определение
|statement=
+
|definition=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
+
Пусть <tex> \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphi(h) = o(h) </tex> при <tex> h \to 0 </tex>, если <tex> \frac{\varphi(h)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h \to 0 </tex>.
|proof=
+
}}
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>
 
  
<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>
+
=== Дифференцируемое отображение ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex> (<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> (<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>), что
  
<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>
+
<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,
  
Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>
+
то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
 +
}}
  
в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.
+
=== Производный оператор ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Оператор <tex> A </tex> из определения производной называется производным оператором отображения <tex> f </tex> в точке <tex> x </tex>.
 +
}}
  
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>
+
=== Дифференциал отображения ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
 +
}}
  
<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
+
=== Матрица Якоби ===
 +
{{Определение
 +
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
 
}}
 
}}
* Замечание
 
  
<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>
+
=== Частные производные ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] </tex>. Производная <tex> \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) </tex> (где <tex> e^k </tex> — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) </tex>.
 +
}}
  
=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
+
=== Производная по вектору, по направлению ===
{{Лемма
+
{{Определение
|statement=
+
|definition=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
+
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </tex>, <tex> x \in Int(D) </tex>, <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>. Предел <tex> \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} </tex> называется производной функции <tex> f </tex> по вектору <tex> h </tex> в точке <tex> x </tex> и обозначается <tex> D_h f(x) </tex> или <tex> \frac{\partial f}{\partial h}(x) </tex>. Если <tex> |h| = 1 </tex>, то вектор <tex> h </tex> называется направлением, а производная по нему — производной по направлению <tex> h </tex>.
|proof=
+
}}
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>
 
  
<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>
+
=== Градиент ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.
  
<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>
+
Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона'''.
 +
}}
  
<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>
+
=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Предположим, что <tex> r - a \in \mathbb{R} </tex> и частные производные порядка <tex> r - 1 </tex> уже определены. Пусть <tex> i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D </tex>. Частная производная функции <tex> f </tex> порядка <tex> r </tex> по переменным с номерами <tex> i_1, ..., i_r </tex> в точке <tex> x </tex> определяется равенством <tex> D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) </tex>, если правая часть существует.
 +
}}
  
<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>
+
=== Классы функций $C^k(E)$ ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Множество функций, <tex> r </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве <tex> D </tex> пространства <tex> \mathbb{R}^n </tex>, обозначается <tex> C^{(r)} (D) </tex> или <tex> C^r (D) </tex>. По определению <tex> C^0 (D) = C(D) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^{(\infty)} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D </tex> функций.
 +
}}
  
<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
+
=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Вектор <tex> k \in \mathbb{Z}_+^n </tex> называют мультииндексом. Величину <tex> (k) = k_1 + ... + k_n </tex> называют высотой мультииндекса <tex> k </tex>.
 
}}
 
}}
 +
Если <tex> k = (k_1, .., k_n) </tex> — мультииндекс, <tex> (k) \leqslant r </tex>, то частную производную порядка <tex> k </tex> (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса <tex> C^{(r)} </tex> обозначают <tex> D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} </tex>. Также полагают <tex> k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! </tex>, <tex> h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} </tex>, где <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex>.
  
=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
+
=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
{{Теорема
+
Из теорем:
|statement=
 
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
 
|proof=
 
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1]  </tex>
 
  
<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная
+
<tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>
  
<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)
+
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>
  
<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.
+
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>
  
<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
+
С остатком в интегральной форме:
}}
 
  
=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
+
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt </tex>
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
 
|proof=
 
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
 
  
По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
+
Формула в дифференциалах:
}}
 
  
Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \  \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.
+
<tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) </tex>
  
=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
+
Формула в координатах:
{{Теорема
 
|statement=
 
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}}  \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
 
|proof=
 
  
Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:
+
<tex dpi="150"> f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) </tex>
  
1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>
+
=== $n$-й дифференциал ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:
  
Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)
+
<tex> df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m </tex>
  
2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.
+
<tex> d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... </tex>
  
3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.
+
<tex> d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... </tex>
  
 +
<tex> d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.
 
}}
 
}}
  
=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
+
=== Норма линейного оператора ===
{{Лемма
+
Напомним, что норма в векторном пространстве <tex> X </tex> над <tex> \mathbb{R} </tex> — функция <tex> p: X \to \mathbb{R}_+ </tex>, удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость (<tex> p(x) = 0 </tex> тогда и только тогда, когда <tex> x = 0 </tex>), положительная однородность (<tex> p(\lambda x) = |\lambda| p(x) </tex>, где <tex> \lambda </tex> — скаляр), неравенство треугольника (<tex> p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)</tex>). Аналогично для матриц (там <tex> \lambda \in \mathbb{R} </tex>).
|statement=
+
{{Определение
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
+
|definition=
|proof=
+
Пусть <tex> X, Y </tex> — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), <tex> A: X \to Y </tex> — линейный оператор. Нормой оператора <tex> A </tex> называется величина <tex> || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y </tex>.
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>
+
}}
  
<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
+
=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
}}
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D </tex>. Если существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex> выполняется неравенство:
  
=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===
+
<tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;
  
{{Теорема
+
<tex> f(x) < f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой строгого максимума функции <tex> f </tex>.
|statement=
 
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.
 
  
|proof=
+
Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если <tex> x_0 </tex> является точкой (строгого) максимума или минимума функции <tex> f </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой (строгого) экстремума <tex> f </tex>.
 +
}}
  
* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>  
+
=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> K </tex> — квадратичная форма от <tex> n </tex> переменных. <br>
  
* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.
+
1) Если <tex> K(h) > 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно определённой. <br>
  
* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex>
+
2) Если <tex> K(h) < 0 </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} </tex>, то форма <tex> K </tex> называется отрицательно определённой. <br>
  
'''Утверждения:'''
+
3) Если форма <tex> K </tex> принимает значения разных знаков, то <tex> K </tex> называется неопределённой. <br>
  
1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)
+
4) Если <tex> K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) </tex> для всех <tex> h \in \mathbb{R}^n </tex> и существует такое <tex> h \neq \mathbb{O}_n </tex>, что <tex> K(h) = 0 </tex>, то форма <tex> K </tex> называется положительно (отрицательно) полуопределённой.
 +
}}
  
2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>
+
=== Диффеоморфизм ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Отображение <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в нуле, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.
 +
}}
  
<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)
+
=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Дана система из <tex> n </tex> уравнений для функций от <tex> m + n </tex> переменных. Функции дифференцируемы <tex> n </tex> раз.
  
'''Доказательство'''
+
<tex> \begin{cases}
 +
f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\
 +
... \\
 +
f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0
 +
\end{cases} </tex>
  
Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что
+
<tex dpi="150"> \frac{\partial F}{\partial y} :=
 +
\begin{pmatrix}
 +
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\
 +
\ & ... & \ \\
 +
\frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n}
 +
\end{pmatrix} </tex>
  
<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>
+
Пусть <tex> (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) </tex> удовлетворяет системе, <tex> \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 </tex>. Тогда существует <tex> u(a) \subset \mathbb{R}^m </tex> и существует единственное отображение <tex> \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n </tex> такие, что <tex> \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) </tex> удовлетворяет системе.
 +
}}
  
<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>
+
=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> M \subset \mathbb{R}^m </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие, если <tex> \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M </tex>. <tex> \Phi </tex> называется параметризацией. Если <tex> \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k </tex> (<tex> \operatorname{rg} </tex> — ранг), то <tex> M </tex> — простое гладкое (класса <tex> C^r </tex>) <tex> k </tex>-мерное многообразие.
 +
}}
  
Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:
+
=== Относительный локальный максимум, минимум, экстремум ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} </tex> (<tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_n </tex> — уравнение связи). Тогда <tex> p \in H_{\Phi} </tex> — локальный относительный (условный) экстремум <tex> f </tex> при условии <tex> \Phi = \mathbb{O}_n </tex>. Это значит, что <tex> p </tex> — локальный экстремум <tex> f | _{H_\Phi} </tex>. Если <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) > f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий), если <tex> f(x) \geqslant f(p) </tex>, то <tex> p </tex> — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.
 +
}}
  
<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex>
+
Или в стиле определения обычного экстремума:
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D </tex>. Если <tex> \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m </tex> и существует такая окрестность <tex> V_{x_0} </tex> точки <tex> x_0 </tex>, что для любого <tex> x \in V_{x_0} \cap D </tex>, удовлетворяющего условию <tex> \Phi(x) = \mathbb{O}_m </tex>, выполняется равенство <tex> f(x) \leqslant f(x_0) </tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой условного или относительного максимума функции <tex> f </tex> при условии связи <tex> \Phi (x) = \mathbb{O}_m </tex>.
 +
}}
  
<tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex>
+
=== Формулировка достаточного условия относительного экстремума ===
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть для точки <tex> a </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) </tex> — решение уравнения <tex> \Phi'(a) h = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) </tex>, <tex> \varphi_i </tex> — условия), где <tex> \lambda_1, ... \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q </tex>:
  
По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.
+
1) положительно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного минимума;
  
Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>.
+
2) отрицательно определена, то <tex> a </tex> — точка локального относительного максимума;
  
Вроде доказали.
+
3) незнакоопределена, то <tex> a </tex> — не точка локального относительного экстремума;
  
 +
4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли <tex> a </tex> точкой локального относительного экстремума.
 
}}
 
}}
  
=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
+
=== Кусочно-гладкий путь ===
{{Теорема
+
{{Определение
|statement=
+
|definition=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
+
Путь — <tex> \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M </tex>, непрерывное
|proof=
 
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>
 
 
 
<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>
 
  
Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>
+
<tex> L = \varphi([a; b]) </tex> — носитель пути («кривая»)
  
<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>
+
<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} </tex> — гладкий путь.
 +
}}
  
<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>
+
=== Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> E </tex> открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля
  
<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>
+
<tex> V </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) </tex>
  
<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>
+
Пусть <tex> V </tex> — непрерывное векторное поле в <tex> E </tex>, <tex> \gamma </tex> — кусочно-гладкий путь в <tex> E </tex>: <tex> \gamma: [a; b] \to E </tex>. Тогда интеграл векторного поля по пути <tex> \gamma </tex> равен <tex> I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) </tex>, где <tex> x_i = \gamma_i(t) </tex>.
 +
}}
  
<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
+
=== Потенциальное векторное поле ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> (<tex> O </tex> — область). <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально в <tex> O </tex>, если существует потенциал <tex> F: O \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> O </tex>, такой, что <tex> \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] </tex>.
 
}}
 
}}
* Замечание
 
  
<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>
+
=== Потенциал векторного поля ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> F </tex> из предыдущего определения потенциал.
 +
}}
  
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
+
=== Похожие пути ===
{{Теорема
+
{{Определение
|statement=
+
|definition=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
+
Пути <tex> \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex> — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).
|proof=
+
}}
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>
 
  
// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>
+
=== Локально-потенциальное векторное поле ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.
 +
}}
  
// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>
+
=== Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.
 +
}}
  
// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>
+
=== Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O </tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) </tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.
 +
}}
  
<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
+
=== Односвязная область ===
 +
???
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Область <tex> O </tex> — односвязная, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma(t) \equiv \gamma(a) </tex>.
 
}}
 
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>
 
 
== Определения и факты ==
 
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: