Изменения
→Полиномиальная формула
== Основные вопросы ==
=== Признак Вейерштрасса ===
из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце.
}}
Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. 3 из предыдущего параграфао предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex> * <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex> * Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>. Прошлый семестр?
<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_n S_N = \sum_{n + = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел
* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>
Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]
<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>
1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.
|proof=
Применяя преобразование Абеля
<tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex>
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex>
<tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex>
Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем
<tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex>
Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) :
|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex>
Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>.
}}
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>
<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по пр. признаку Абеля ]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>
<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>
* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy) } ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:
<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>
(уравнения Коши-Римана)
|proof=
}}
Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>
<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>
Проверим р. сх. <tex> z \in B(r_0z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>
Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(r_0z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>
<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>
<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по пр. [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса |признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>
<tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>
<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель ]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>
=== Единственность производной ===
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = + f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>
<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_2 a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>
<tex> [\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}}\ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0; </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) \le 1 </tex> по модулю
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = \le C_A || x || </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>
<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = fF(a) \in IntI </tex>
<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:
1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + bh) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>
Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - ca| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>
Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.
Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le 1||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>
фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar hk)hk </tex>
<tex> \bar h , \bar k </tex> — средняя точкасредние точки
<tex> \psi(f_2k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> a k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alphak: |\alpha| (k) = r} \frac{r!}{\alphak!} a^{\alphak} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>
<tex> r = 1 </tex>
<tex> \alpha k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>
<tex> r = r + 1 </tex>
<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_m^{\alpha_k_{m}} = </tex>
<tex> = \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}+1} ... a_m^{\alpha_k_{m}} + \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} a_2^{\alpha_2 k_2 + 1} ... a_m^{\alpha_k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_{m-1}^{\alpha_k_{m - 1}} a_m^{\alpha_k_{m } + 1}} = </tex>
<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - \alpha k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;
<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс
<tex> (\alpha_1 k_1 + 1, \alpha_2 k_2 ... \alpha_mk_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1
<tex> \sum_{(\alpha_1k_1...\alpha_mk_m); \alpha_i k_i \ge 0; \alpha_1 k_1 + ... + \alpha_m k_m = r} \frac{r!}{\alpha_1k_1! ... \alpha_mk_m!} \cdot a_1^{\alpha_k_{1}} ... a_m^{\alpha_k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>
* Замечание 2
<tex> m = 2; \alpha_1k_1, \alpha_2 k_2 = r - \alpha_1 k_1 </tex>
<tex> \sum_{\alpha_1 k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{\alpha_1k_1!(r - \alpha_1k_1)!} \cdot a_1^{\alpha_1k_1} a_2^{r - \alpha_1k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=
<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>
<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>
Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r+ 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>
<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>
Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>
<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex> <tex> \mathbb{L}_{m, m} : \ Gh(m) = \{ A \in \mathbb{L}_{m, m} : \exists A^{-1} \} </tex>
}}
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=
Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>
Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>
Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)
Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>
Само доказательство:
<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).
<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:
<tex> I) F \in C^{-1}(E) </tex>
<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{minmn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>
<tex> II \Rightarrow I </tex>
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>
<tex> F'(x)e_i = </tex><tex> \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex> <tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: D E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^n m \to \mathbb{R}, ; \ x_0 \in \operatorname{Int} D a </tex> — точка лок. экстремума . <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex> . Тогда <tex> \nabla_a f= 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ k \in [1 : n] ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) |proof=Меняем <tex>f(a+l)</tex>. Тогда если на <tex> D_k g(t)=f(x_0a+tl) </tex> существует, то по теореме Ферма из первого семестра <tex> D_k fg'(x_00) = 0 </tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f = \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>. Тогда существует <tex> a \subset in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.|proof=Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>
(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по т[[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса ]] <tex> \exists min </tex>)
<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>
<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}
=== Достаточное условие экстремума ==={{Теорема|statement=Пусть <tex> |pf = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (y) - p(x)| то есть <tex> \le pnabla f(x - ya) = \mathbb{O}_m </tex> разложим по базису ). <tex> pd^2 f( \sum_{k a, h) = 1}^m |y_k - x_k|l_k Q(h) \le </tex>— кв. форма.
1) Если <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{\sum pQ(l_kh)^2}} </tex>положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).
2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального). 3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума. 4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование|proof=<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \forall y : frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex> <tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |x - yh| < /tex> Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \delta in U(a) </tex> верно <tex> \sum |pf''_{x_i x_j}(xa + \theta h) - pf(ya)| < \epsilon le \frac{\gamma}{2} </tex> <tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2}|h|^2 > 0 </tex> Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума
}}
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
* Замечание
1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное
2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?
<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>
<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>
Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>
<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>
В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.
На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>
<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]
<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>
<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>. Тогда:
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>|proof= 1) <tex> r = 1 </tex> <tex>F(O) = O' </tex> — открытое Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex> Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое. * <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны. <tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> * <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы. Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex> <tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex> Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> <tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex> <tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> <tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex> 2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, ; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) ; x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex> Тогда <tex> \exists U(т.е. x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F |U </tex> 1 раз непрерывно дифференцируемо на — сужение отображения <tex> O F </tex>, а его первая производная непрерывна на множество <tex> D U </tex>), .|proof=Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0 ) : F|_U </tex> — обратима [так как можно считать что <tex> \in O, det F'(x) \ ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \det Rightarrow F'(U(x_0) ) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам] <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0 </tex>, тогда отображение будет биекцией. Тогда <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U= B(x_0, r) \subset O </tex> <tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x)\ne 0 \\ 2: \ forall x \in U & \| F'(x) - F '(x_0) \| _U < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> — диффеоморфизм ( <tex> F |_U x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex> или <tex> F|U (y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex> — сужение отображения <tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F '(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> на множество <tex> U \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>).
}}
* Замечание
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле
=== Теорема о неявном отображении ===
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>
'''Раньше тут был забыт минус!'''2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> |proof= Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>. <tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex> <tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>. <tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex> По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности. Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>. Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>. Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>
<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>
<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях
<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.
<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>
<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>
<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>
<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>
<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>
<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>
<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>
<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}
<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \PhiPsi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
}}
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.
<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению 2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex> на <tex> \gamma_1 </tex> и <tex> : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \gamma_2 </tex>, то <tex> I(V, mapsto \gamma(t) = I(V; \ \gamma_2 : [c, b] \gamma_1) + I(V, to \gamma_2) mathbb{R}^m </tex>.
<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex> 3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex>, то <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex> Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:
<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [ab; b + d - c]\end{cases} </tex> то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c,d] </tex> <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)
<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex> 5) Оценка интеграла: {{Теорема|statement=<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути. <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>|proof=<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to 0 O </tex> — кусочно гладкий.
Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
|statement=
}}
=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O f: [a; b] \subset times [c; d] \to \mathbb{R}^m , \ f(x, y) </tex> — выпуклаянепрерывна, дифференцируема по <tex> V y </tex> — векторное поле в при любых <tex> O x </tex>, гладкое и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \forall Phi(y) = \int\limits_a^b f(x , y) dx, \ y \forall iin [c, j d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \ int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.|proof=<tex> \frac{\partial V_iPhi(y + h) - \Phi(y)}{\partial x_jh} = \int_a^b \frac{\partial V_jf(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \partial x_i} int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>. Тогда <tex> V f'_y </tex> — потенциальное.}}непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \int\limits_0^frac{\pi/2partial V_i} {\cos^n x dx partial x_j} = \undersetfrac{n \to + \inftypartial V_j}{\simpartial x_i} \int(*), \ i, j \limits_0^{in [1: m] </tex>|proof=<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \pifrac{\partial^2 f}{4\partial x_i \partial x_j} </3}} \cos^n x dx tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex>— гладкое)
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) O \subset \mathbb{R}^m </tex> непрерывна— выпуклое, <tex> f(x) V </tex> — векторное поле в <tex> 0 O </tex> на , гладкое и <tex> (a; b)\forall x \forall i, j \ \ frac{\intpartial V_i}{\limits_a^b f(x) dx partial x_j} = M, \ frac{\partial V_j}{\varphi(x) partial x_i} </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.|proof=фиксируем <tex> A \in O; \forall c \in (agamma [0, b) 1] \ to O; \intt \limits_a^b fmapsto A + t * (x- A) e^{; \ \gamma' = x - A \varphi</tex> <tex> f(x)} := \undersetint_{A \to + \inftygamma}{\sim} sum V_i dx_i = </tex><tex> \int\limits_aint_0^c f1 V_1(A + t(x- A) e^{)\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A )) \varphicdot (xx_m - A_m)} dt </tex>.}}
}}
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции Лемма о гусенице ==={{ТеоремаЛемма
|statement=
Пусть <tex> \Gamma (x + 1) \underset{x gamma: [a, b] \to + O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \infty}{subset O </tex>, что <tex> \sim} x^x e^gamma [t_{k -x1} , t_k] \subset B_k, \sqrt{2 k \pi x} in [1 : n] </tex>.|proof=}}<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>
}}
=== Радиус сходимости степенного ряда Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===см{{Лемма|statement=Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. [[Участник:Yulya3102Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </Матан3сем#Теорема о круге сходимости степенного рядаtex>.|Теорема о круге сходимости степенного ряда]] пункт 3proof=Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>
в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\singamma(zt_2)) := \mathrm{Im}f_3(\mathrm{exp}gamma(izt_2))) </tex>и т.д.
<tex> \cosint_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(zt) :dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \mathrmsum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{Rei - 1}(\mathrmgamma(t_{expi - 1}(iz)) </tex>}}
}}
* Замечание
<tex> \gamma(a) === o\tilde \gamma(a), \ \gamma(hb) при h->0 ==={{Определение|definition=Пусть <tex> \varphi: tilde \ gamma(b) \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>. <tex> \varphigamma(ha) = o\gamma(hb) </tex> при <tex> h , \to 0 </tex>, если <tex> \frac{tilde \varphigamma(ha)}{||h||} </tex> — бесконечно малая при <tex> h = \tilde \to 0 gamma(b) </tex>.}}
=== Дифференцируемое отображение Лемма о похожести путей, близких к данному ==={{ОпределениеЛемма|definitionstatement=Пусть <tex>f\gamma:D[a, b] \subsetto O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \mathbb{R}^nexists \todelta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \mathbb{R}^mgamma_1,x\ingamma_2: [a, b] \operatorname{Int}Dto O </tex> (— «близкие» к <tex>\operatorname{Int} Dgamma; * </tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор , то есть <tex>A\forall t \in[a, b] \mathcal{L}\ | \gamma(t) - \mathbb{R}^ngamma_1(t) | < \delta, \ | \togamma(t) - \mathbb{R}^mgamma_2(t)| < \delta </tex> (, то <tex>\mathcal{L}(Xgamma_1, \to Y)gamma_2 </tex> похожи.|proof=Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> — множество линейных ограниченных операторов из и шары <tex>XB_1, ..., B_n \subset O </tex> в для <tex>Y\gamma </tex>), что
<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h)\gamma[t_{k - 1}, h\to\mathbbt_{Ok}_n] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>,
<tex> A_k === Дифференциал отображения ===\{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{Определение|definition=Величина <tex>f'k}] \ \ \rho(\gamma(xt)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)\delta \} \subset B_k </tex>.}}
}}
=== Частные производные Равенство интегралов по гомотопным путям ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex> f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \ x \in \operatorname{Int} Dgamma_0, \ k \in gamma_1: [1 : na; b] \to O </tex>— связанно гомотопны. Производная Тогда <tex> \fracint\limits_{\partial fgamma_0}\sum V_i dx_i = \int\limits_{\partial e^kgamma_1} (x) \sum V_i dx_i </tex> (где . Тоже верно для петельной гомотопии.|proof=<tex> e^k \Gamma </tex> — это орт (тгомотопия.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции <tex> f </tex> по <tex> k </tex>-ой переменной в точке <tex> x </tex> и обозначается ещё <tex> D_k f\gamma_u(xt), = \ D_{x_k} fGamma(x)t, \ f'_{x_k} (xu), \ u \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) in [0, 1] </tex>.}}
}}
=== Классы функций $C^k(E)$ Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Множество функций, Пусть <tex> r O </tex> раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве — односвязная область, <tex> D V </tex> пространства — локально потенциальное поле в <tex> \mathbb{R}^n O </tex>, обозначается . Тогда <tex> C^{(r)} (D) V </tex> или потенциально.|proof=<tex> C^r (D) V </tex>. По определению — потенциально <tex> C^0 \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(Da) = C\gamma(Db) </tex> — класс непрерывных на <tex> D </tex> функций. Через <tex> C^: \ \int_{(\infty)gamma} (D) </tex> обозначается класс бесконечно дифференцируемых на <tex> D \sum V_i dx_i = 0 </tex> функций.}}
}}
1) <tex dpi="150"> f(\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + h) = \sum_infty}{(k) \leqslant rsim} \int\limits_0^{n^{-\frac{f^1}{(k)3} (x)}{k!} h\cos^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{On}_n x dx</tex>
2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_ln{(k) \leqslant r} \frac{f^cos{(k)} (x)}{k!} h^k + </tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\int\limits_0^1 ln{\sum_cos{(k) = r + 1x}} </tex> на <tex>-\frac{r + 1nx^2}{k!2} f+o(x^{(k2)} </tex> и показываем, что это <tex>o(x + th) h^k (1 - t2)^r dt </tex>не мешает подставить замену в интеграл.
<tex dpi="150"> \int_a^c f(x, y) = e^{A \sum_{l=0varphi(x)}dx \ge \int_a^r {\frac{1c}{l!2} \sum_{\nu = 0}f(x)e^{lA \varphi(x)} C_l^{\nu} ge \fracmin e^{A \partial^l fvarphi(x^0, y^0)}{\partial xint_a^{\nufrac{c} \partial y^{l - \nu2}} f(x - x^0)dx = e^{A \varphi(\nufrac{c}{2} (y - y^0)} \int_a^{l - \nufrac{c} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ } f(x , y) \to (x^0, y^0) dx </tex>// последняя экспонента с большим показателем}}
=== $n$-й дифференциал Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ==={{Определение|definition=Пусть <tex> f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) </tex>. Тогда:
{{Теорема|statement=Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> df(a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f'_(t) e^{x_1A \varphi(t)}dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a) dx_1 } \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + ... 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + f'_1}{x_mp}(a)dx_m </tex>.
* В доказательстве используется прием: при <tex> dq > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^3f(a) = d(d{-At^2f(a)) = ... p} dt</tex>
* вводим замену <tex> du = At^r fp, t = (a) = \sum c_frac{i_1, ..., i_ru} \frac{\partialA})^r f(a){1/p}{, dt = \partial x_frac{i_1} \cdot ... \cdot x_u^{i_r1/p-1}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_pA^{i_r1/p} </tex>, где <tex> c_{i_1, ..., i_r} </tex> — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.}}
1) <tex> f\forall{c\in(xa, b) }\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \leqslant fle (x_01 + \varepsilon) \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex>, то <tex> x_0 </tex> называется точкой максимума функции <tex> f </tex>;(следствие из теоремы о локализации)
По утверждению 2 это меньше или равно <tex dpi="150"> \frac{1+\partial Fvarepsilon}{(1-\partial y} :=\beginvarepsilon)^{pmatrix}\frac{\partial f_1q+1}{\partial y_1p}}} & ... & \frac{cdot L\partial f_1}cdot [e^{A \partial y_nvarphi(a)} \\\ & ... & \ \\\frac{\partial f_n1}{\partial y_1} & ... & p(cA)^{\frac{\partial f_nq + 1}{p}}} \partial y_nGamma(\frac{q + 1}\end{pmatrixp} )]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.
}}
|statement=
Пусть для точки <tex> a f </tex> выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть непрерывна на <tex> h = (h_1, ..., h_{m+n}) [a; b] </tex> — решение уравнения . Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> \Phi'P_n(ax) h , \ n = 0 </tex>. Рассмотрим квадратичную форму <tex> Q(h_11, 2 ..., h_m) = d^2 G_a </tex>, где что <tex> G </tex> — функция Лагранжа (<tex> G(\forall x) = f\in [a; b] \ P_n(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_ito f(x) </tex>, .|proof=<tex> [a, b] \varphi_i subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> — условия), где // Можно считать <tex> \lambda_1begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, ... 1] \lambda_n </tex> взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если <tex> Q end{matrix} </tex>:
<tex> L = Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\varphipi}{n}} f([a; b]x) , \ n \to +\infty </tex> — носитель пути («кривая»)
<tex> \varphi </tex> — кусочно-гладкий путь, если существует дробление <tex> t_0 = a < t_1 < ... < t_n = b </tex> такое, что <tex> sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \varphi|to f(x)_{x \in [t_{k - 1}a_1, t_kb]} , \ n \to +\infty </tex> — гладкий путь.
}}
* Замечание
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ==={{Теорема|statement=<tex> V \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>|proof=<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex> — гладкое векторное поле, если <tex> V \in Cx^{x + 1} \int_0^r (E, {+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \mathbbint_0^{R+\infty}e^m{-x(u - \ln u) } du \sim </tex>
// <tex> \varphi'' === Потенциал векторного поля ===-\frac{1}{Определение|definitionu^2}; \ \varphi''(1) =<tex> F -1 </tex> из предыдущего определения — потенциал.}}
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>
=== Локально-потенциальное векторное поле =Определения и факты =={{Определение|definition=<tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> — локально-потенциальное, если <tex> \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O </tex> такое, что <tex> V </tex> — потенциальное в <tex> U(x) </tex>.}} === Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути ==={{Определение|definition=Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.}} === Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия ==={{Определение|definition=Пусть <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex>. <tex> \Gamma[Участник: [a; b] \times [0; 1] \to O <Yulya3102/tex> — гомотопия этих путей, если она непрерывна и <tex> \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) <Матан3сем/tex>. Связанная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) </tex>. Петельная гомотопия — <tex> \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) </tex>.}} === Односвязная область ==={{ОпределениеОпределения|definition=Область <tex> O </tex> — односвязнаяПеремещено, если любая петля в <tex> O </tex> стягиваема: <tex> \forall \gamma: [a; bа то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 </tex> — петельно гомотопные пути, <tex> \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) </tex>.}}
