Изменения

== Основные вопросы ==

=== Признак Вейерштрасса ===

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

}}

|proof=

Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>

Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.

}}

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]

|proof=

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

}}

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>

|proof=

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

{{Теорема

|statement=

}}

{{Теорема

|statement=

Тогда:

Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

}}

* Замечание

=== Теорема о неявном отображении ===

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

}}

1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

2) Аддитивность при дроблении пути:

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

5) Оценка интеграла:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>

|proof=

}}

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

{{Лемма

|statement=

|proof=

фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

}}

Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.

|proof=

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

{{Теорема

|statement=

}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===

{{Теорема

|statement=

|proof=

}}

}}

{{Теорема

|statement=

}}