277
правок
Изменения
→Теорема о диффеоморфизме
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>. Тогда:
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
|proof=
'''Тут написан бред. Лучше сразу перейти к конспекту, стр. 91'''. переписал, вроде ок.
1) <tex> r = 1 </tex>
<tex> S := F^{-1}; F(O) = O' </tex> — откр.; <tex> S : O' \to O </tex>;
<tex> U </tex> — откр. <tex> \subset O; \ F(U) </tex> — откр. <tex> S^{-1}(U) </tex> — откр. * <tex> T : X \to Y; T </tex> — непр. <tex> \Leftrightarrow \forall u U \subset Y : T^{-1} (U) </tex> — откр.
<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>
<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>
<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \fracoverbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>
Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>
<tex> | \ \GammaT^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |\GammaT^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| \GammaT^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| \GammaT^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>
<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>
