Изменения

<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>|proof=  Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \piunderset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{4n}x dx</3tex> Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) 2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}} </tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл. 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n }{2}}x , dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.