Изменения
→Неравенство Коши-Буняковского в линейном пространстве, норма, порожденная скалярным произведением
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A </tex>~ <tex dpi=130> B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( < x, y \right ) > \right | ^2 \leqslant \left ( < x, x \right ) > \left ( < y, y \right ) > </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = \sqrt{\left ( < x, x \right )>} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset \mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D E </tex>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. <br>
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то <br>
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> <br>
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>.
}}
