22
правки
Изменения
→Односторонние пределы
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: X \to Y, \ B \subset X Y </tex>. Множество <tex dpi=130> f^{-1}(B) = \{ x \in X: \ f(x) \in B \} </tex> называется '''прообразом''' множества <tex dpi=130> B </tex> при отображении <tex dpi=130> f </tex>.
}}
=== Целая часть числа ===
Пусть <math>x \in \mathbb R</math>. Наибольшее целое число, не превосходящее <math>x</math>, называется целой частью <math>x</math> и обозначается <math>[x]</math>.
=== Векторнозначаная функция ===
}}
=== Окрестность точкиШар, проколотая окрестностьзамкнутый шар, окрестности в R с чертой ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — векторное пространство над <tex dpi=130> \mathbb{R} </tex> или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>. Функция <tex dpi=130> \varphi: X \times X \to \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex> называется '''скалярным произведением''' в <tex dpi=130> X </tex> (обозначение: <tex dpi=130> \varphi (x, y) = \left ( x, y \right ) </tex>, если она удовлетворяет следующим свойствам: <br>
# Линейность по первому аргументу: для всех <tex dpi=130> x_1, x_2, y \in X </tex> и всех <tex dpi=130> \lambda, \mu \in \mathbb{R} </tex> (или <tex dpi=130> \mathbb{C} </tex>) <tex dpi=130> \left ( \lambda x_1 + \mu x_2, y \right ) = \lambda \cdot \left ( x_1, y \right ) + \mu \cdot \left ( x_2, y \right ) </tex> <br>
# Эрмитовская симметричность: <tex dpi=130> \left ( y, x \right ) = \baroverline{\left ( x, y \right )} </tex> (в вещественном случае черту можно опустить) <br>
# Положительная определённость: <tex dpi=130> \left ( x, x \right ) \geqslant 0; \ \left ( x, x \right ) = 0 \Longleftrightarrow x = \theta </tex>
}}
'''возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant f(x_2) </tex>; <br>
'''строго возрастающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) < f(x_2) </tex>; <br>
'''убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) \leqslant geqslant f(x_2) </tex> <br>
'''строго убывающей''' на множестве <tex dpi=130> D </tex>, если для любых <tex dpi=130> x_1, x_2 </tex> из <tex dpi=130> D </tex> таких, что <tex dpi=130> x_1 < x_2 </tex>, будет <tex dpi=130> f(x_1) > f(x_2) </tex>.
}}
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. <br>
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-0}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-0) </tex>. <br># Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+0}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+0) </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in subset X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> Y </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f: D \subset X \mathbb{R} \to Y, \ x_0 \in D </tex>. Если сужение отображения <tex dpi=130> f </tex> на множество <tex dpi=130> E_1 = D \cap \left ( - \infty, x_0 \right ] </tex> (<tex dpi=130> E_2 = D \cap \left [ x_0, + \infty \right ) )</tex> непрерывно в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>, то говорят, что отображение <tex dpi=130> f </tex> '''непрерывно слева (справа)''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> a > 0, x \in \mathbb{R} </tex>. Положим <tex dpi=130> a^x = \underset{r \to x}{\lim} a^r | _{\mathbb{Q}} </tex>. При <tex dpi=130> a > 0, \ a \neq 0 1 </tex> функция <tex dpi=130> a^x, \ x \in {\mathbb{R}} </tex> называется '''показательной функцией с основанием''' <tex> a </tex>.
}}
}}
=== О большое и o маленькое, эквивалентные функции или асимптотически равные функции ===
{{Определение
|definition=
# <tex dpi=130> \varphi </tex> ограничена на <tex dpi=130> V_{x_0} \cap D </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''ограничена по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = O(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 0 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''бесконечно малая по сравнению с''' <tex dpi=130> g </tex> при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) = o(g(x)), \ x \to x_0 </tex>; <br>
# <tex dpi=130> \varphi (x) \to 1 </tex>, то говорят, что функция <tex dpi=130> f </tex> '''эквивалентны''' или '''асимптотически равны''' при <tex dpi=130> x \to x_0 </tex>, и пишут <tex dpi=130> f(x) ~ \sim g(x), \ x \to x_0 </tex>.
}}
=== Асимптотическое разложение ===
=== Наклонная асимптота графика ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует такое число <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, что <tex dpi=130> f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0), \ x \to x_0 </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: \left \langle a, b, \right \rangle \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \left \langle a, b, \right \rangle </tex>. Если существует предел <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x) - f(x_0)} \over {x - x_0}} </tex>, равный числу <tex dpi=130> A \in \mathbb{R} </tex>, то функция <tex dpi=130> f </tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>. При этом число <tex dpi=130> A </tex> называется '''производной''' функции <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> x_0 </tex>.
}}
Тогда существует точка, принадлежащая одновременно отрезкам <tex dpi=130> \left [ a_n, b_n \right ] </tex>, то есть <br>
<tex dpi=130> \overset{\infty}{\underset{n = 1}{\bigcap}} \left [ a_n, b_n \right ] \neq \varnothing </tex>
}}
=== Законы де Моргана ===
{{Теорема
|author=Де Моргана
|about=законы
|statement=
Пусть <tex dpi=130> { \{ X_{\alpha} \} }_{ \alpha \in A } </tex> — семейство множеств, <tex dpi=130> Y </tex> — множество. Тогда <br>
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
# <tex dpi=130> Y \ \backslash \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \backslash \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
# <tex dpi=130> Y \ \cap \ \underset{\alpha \in A}{\bigcup} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \left ( Y \ \cap \ X_{\alpha} \right ) </tex> <br>
# <tex dpi=130> Y \ \cup \ \underset{\alpha \in A}{\bigcap} X_{\alpha} = \underset{\alpha \in A}{\bigcap} \left ( Y \ \cup \ X_{\alpha} \right ) </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Множества <tex dpi=130> A </tex> и <tex dpi=130> B </tex> называют '''эквивалентными''' или '''равномощными''' и пишут <tex dpi=130> A </tex>~ <tex dpi=130> B </tex>, если существует биекция <tex dpi=130> \phi: A \to B </tex>.
}}
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( < x, y, \right ) > \right | ^2 \leqslant \left ( < x, x \right ) > \left ( < y, y \right ) > </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = \sqrt{\left ( < x, x \right )>} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Говорят, что <tex dpi=130> \{ \left [ a_n, b_n \right ] \} _{n = 1} ^ {\infty} </tex> — последовательность '''стягивающихся отрезков''', если <tex dpi=130> a_n \leqslant a_{n + 1} \leqslant b_{n + 1} \leqslant b_n </tex dpi=130> при всех <tex dpi=130> n </tex> и <tex dpi=130> b_n - a_n \to 0 </tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Если <tex dpi=130> D \subset E \subset \mathbb{R}, \ D \neq \varnothing </tex>, то <tex dpi=130> \sup D \leqslant \sup D E </tex>, а <tex dpi=130> \inf D \geqslant \inf E </tex>. <br>
Если <tex dpi=130> E, F \subset \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, \ E + F = \{ x + y: x \in E, y \in F \} </tex>, <tex dpi=130> \ -E = \{ -x: x \in E \}, \ tE = \{ tx: x \in E \} </tex>, то <br>
* <tex dpi=130> \sup (E + F) = \sup E + \sup F </tex> <br>
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>.
}}
<tex dpi=130> (a^x)^y = a^{xy} </tex> <br>
<tex dpi=130> (ab)^x = a^x b^x </tex> <br>
}}
|about=замена на эквивалентную при вычислении пределов
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, \tilde{f}, g, \tilde{g}: D \subset X \to \mathbb{R} \ (\mathbb{C}) </tex>, <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) ~ \sim \tilde{f}(x), g(x) ~ \sim \tilde{g}(x), \ x \to x_0 </tex>. Тогда справедливы следующие утверждения:
# <tex dpi=130> \underset{x \to x_0}{\lim} f(x)g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim} \tilde{f}(x) \tilde{g}(x) </tex> <br>
# Если <tex dpi=130> x_0 </tex> — предельная точка области определения <tex dpi=180> {{f} \over {g}} </tex>, то <tex dpi=180> \underset{x \to x_0}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}} = \underset{x \to x_0}{\lim} {{\tilde{f}(x)} \over {\tilde{g}(x)}} </tex>
