22
правки
Изменения
→Односторонние пределы
|definition=
Пусть <tex dpi=130> f: D \subset \mathbb{R} \to Y, \ a \in \mathbb{R} </tex>. <br>
# Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_1 = D \cap \left ( - \infty, a \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_1 </tex> называется '''левосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a-0}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a-0) </tex>. <br># Если <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка множества <tex dpi=130> D_2 = D \cap \left ( a, + \infty \right ) </tex>, то предел отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> по множеству <tex dpi=130> D_2 </tex> называется '''правосторонним пределом''' отображения <tex dpi=130> f </tex> в точке <tex dpi=130> a </tex> и обозначается <tex dpi=130> \underset{x \to a+0}{\lim} f(x) </tex> или <tex dpi=130> f(a+0) </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex dpi=130> \left ( X, \rho \right ) </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> K \in subset X </tex>. Покрытие <tex dpi=130> \{ G_{\alpha} \} _{\alpha \in A} </tex> множества <tex dpi=130> K </tex> называется '''компактным''', если из любого открытого покрытия <tex dpi=130> K </tex> можно извлечь конечное подпокрытие
}}
|about=неравенство
|statement=
<tex dpi=130> \left | \left ( < x, y \right ) > \right | ^2 \leqslant \left ( < x, x \right ) > \left ( < y, y \right ) > </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Функция <tex dpi=130> p(x) = \sqrt{\left ( < x, x \right )>} </tex> — норма в <tex dpi=130> X </tex>.
}}
|about=предельный переход в неравенстве для функици
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A, B \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, g(x) \underset{x \to a}{\to} B </tex>. Тогда <tex dpi=130> A \leqslant B </tex>.
}}
|about=о сжатой функции
|statement=
Пусть <tex dpi=130> X </tex> — метрическое пространство, <tex dpi=130> f, g, h: D \subset X \to \mathbb{R} </tex>, <tex dpi=130> a </tex> — предельная точка <tex dpi=130> D </tex>, <tex dpi=130> f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) </tex> для всех <tex dpi=130> x \in D \backslash </tex>{<tex dpi=130>a</tex>}<tex dpi=130>, \ A \in \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex dpi=130> f(x) \underset{x \to a}{\to} A, h(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>. Тогда и <tex dpi=130> g(x) \underset{x \to a}{\to} A </tex>.
}}
