Факторгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Факторгруппа)
(Примеры)
Строка 18: Строка 18:
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
* <font color="#FF0000">(см. замечание)</font> примером '''факторгруппы''' является группа класса вычетов по модулю <tex>n</tex>.  
+
* пусть для группы <tex>G=mathbb{Z}</tex> ее нормальной подгруппой будет <tex>H=nmathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=mathbb{Z}/nmathbb{Z}</tex>(группы вычетов по модулю n) будет являться факторгруппой G по H.
  
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Версия 01:39, 4 июля 2010

Эта статья требует доработки!
  1. Для примера факторгруппы надо: группа [math]G[/math], ее нормальная подгруппа [math]H[/math] и группа-результат.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] - множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу:

Утверждение:
произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

[math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]


Определение:
Таким образом, фактормножество [math]G/H[/math] образует подгруппу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] - [math]a^{-1}H[/math].


Примеры

  • пусть для группы [math]G=mathbb{Z}[/math] ее нормальной подгруппой будет [math]H=nmathbb{Z}[/math], тогда [math]G/H=mathbb{Z}/nmathbb{Z}[/math](группы вычетов по модулю n) будет являться факторгруппой G по H.