221
правка
Изменения
м
Таким образом, фактормножество === Примеры ===* Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex> образует подгруппу, которая называется '''факторгруппой''' тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex> . Нейтральным элементом Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>H. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex>, обратным к является нормальной подгруппой в <tex>aHGL_n</tex> - и факторгруппа <tex>a^GL_n/SL_n=\mathbb{-1R}H</tex>.
примером {{Утверждение|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''факторгруппыне нормальной''' является группа класса вычетов по модулю подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.|proof=Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>nS'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:
Нет описания правки
== Факторгруппа ==
Рассмотрим [[группа|группу ]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу ]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{- --}} множество [[Смежные классы|смежных классов ]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух .{{Определение|definition='''Произведением''' смежностных классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что и <tex>abH=a_1 b_1 HbH</tex>. Достаточно показать, что назовем смежностный класс <tex>a_1\cdot b_1 \in abH(ab)H</tex>.}}
{{Утверждение|statement=Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.|proof=Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.В самом деле, <tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b</tex>. Элемент <tex>h =(b^{-1}\cdot h_a\cdot b)</tex> лежит в <tex>H</tex> по свойству нормальности <tex>H</tex>. Следовательно, <tex>a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>.}}
{{Определение
|definition=
Таким образом, множество смежных классов <tex>G/H</tex> с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> {{---}} <tex>a^{-1}H</tex>.
}}
класс <tex>E(abc \rightarrow abc</tex> и <tex>abc \rightarrow bac)</tex>,
класс <tex>A(abc \rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>,
класс <tex>B(abc \rightarrow сab</tex> и <tex>abc \rightarrow cba)</tex>.
Это смежные классы для <tex>S'_2</tex>. Теперь рассмотрим произведения:
<tex>abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (abc \rightarrow acb)(abc \rightarrow cab)=(abc \rightarrow cba) \Rightarrow AB=B</tex>
<tex> abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \Rightarrow AB=E</tex>.
Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. <tex> \Rightarrow S_3/S'_2</tex> не является группой.
}}
[[Категория: Теория групп]]
