221
правка
Изменения
м
{{Требует доработки== Факторгруппа ==Рассмотрим [[группа|item1=Для примера факторгруппы надо: группа группу]] <tex>G</tex>, и ее [[нормальная подгруппа |нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.{{Определение|definition='''Произведением''' смежностных классов <tex>aH</tex> и группа-результат<tex>bH</tex> назовем смежностный класс <tex>(ab)H</tex>.
== Факторгруппа ==
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее нормальную [[Подгруппа|подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу:
произведением двух Определение произведения смежных классов является класс, в который входит корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей этих классов. Проверим корректность этого определения<tex>a</tex> и <tex>b</tex>. |proof=Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.В самом деле, <tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b</tex>. Элемент <tex>h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)</tex> лежит в <tex>H</tex> по свойству нормальности <tex>H</tex>. Следовательно, <tex>a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>.
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
Нет описания правки
}}
{{Утверждение
|statement=
}}
{{Определение
|definition=
Таким образом, фактормножество множество смежных классов <tex>G/H</tex> с введенной на нем операцией произведения образует подгруппугруппу, которая называется '''факторгруппой''' <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> {{- --}} <tex>a^{-1}H</tex>.
}}
=== Примеры ===
* пусть для группы Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> ее нормальной подгруппой будет и её нормальную подгруппу <tex>H=nmathbbn\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/nmathbbn\mathbb{Z}</tex>(группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>. {{Утверждение|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''не нормальной''' подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.|proof=Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:
класс <tex>E(abc \rightarrow abc</tex> и <tex>abc \rightarrow bac)</tex>,
класс <tex>A(abc \rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>,
класс <tex>B(abc \rightarrow сab</tex> и <tex>abc \rightarrow cba)</tex>.
Это смежные классы для <tex>S'_2</tex>. Теперь рассмотрим произведения:
<tex>abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (abc \rightarrow acb)(abc \rightarrow cab)=(abc \rightarrow cba) \Rightarrow AB=B</tex>
<tex> abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \Rightarrow AB=E</tex>.
Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. <tex> \Rightarrow S_3/S'_2</tex> не является группой.
}}
[[Категория: Теория групп]]
