221
правка
Изменения
м
{{Требует доработки
|item1=Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
|item2=Требуется пример группы <tex>G</tex> и ее подгруппы <tex>H</tex> (не нормальной), для которых <tex>G/H</tex> не является группой.
}}
Нет описания правки
== Факторгруппа ==
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.
=== Примеры ===
* Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.
* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.
{{Утверждение
|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>G</tex> и ее '''не нормальной''' подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой.
|proof=
Рассмотрим группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>:
класс <tex>E(abc \rightarrow abc</tex> и <tex>abc \rightarrow bac)</tex>,
класс <tex>A(abc \rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>,
класс <tex>B(abc \rightarrow сab</tex> и <tex>abc \rightarrow cba)</tex>.
Это смежные классы для <tex>S'_2</tex>. Теперь рассмотрим произведения:
<tex>abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (abc \rightarrow acb)(abc \rightarrow cab)=(abc \rightarrow cba) \Rightarrow AB=B</tex>
<tex> abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \Rightarrow AB=E</tex>.
Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. <tex> \Rightarrow S_3/S'_2</tex> не является группой.
}}
[[Категория: Теория групп]]
