221
правка
Изменения
м
{{Требует доработки
|item1=Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
|item2=Требуется пример группы <tex>G</tex> и ее подгруппы <tex>H</tex> (не нормальной), для которых <tex>G/H</tex> не является группой.
}}
* Подгруппа ортогональных матриц {{Утверждение|statement= В группе перестановок из трех элементов <tex>O_n\subset GL_nG</tex> и ее '''не является нормальной''' подгруппе <tex>H</tex> перестановок из двух элементов не затрагивающих третий элемент, <tex>G/H</tex> не будет являться группой. |proof=Рассмотрим любую матрицу группу <tex>S_3</tex>(перестановки трех элементов) и ее не нормальную подгруппу <tex>S'_2</tex>(перестановки не затрагивающие третий элемент). Рассмотрим множество перестановок <tex>S_3/S'_2</tex>: класс <tex>E(abc \rightarrow abc</tex> и <tex>abc \rightarrow bac)</tex>, класс <tex>A (abc \in GL_n,rightarrow acb</tex> и <tex>abc \rightarrow bca)</tex>, U класс <tex>B(abc \in O_nrightarrow сab</tex> и проверим ортогональность матрицы <tex> AUA^{-1} abc \rightarrow cba)</tex>. Это смежные классы для <tex>S'_2</tex>. Теперь рассмотрим произведения: <tex> abc \rightarrow acb \in A, \, abc \rightarrow cab \in B: (AUA^{-1}abc \rightarrow acb)^T(AUA^{-1}abc \rightarrow cab)=(A^{-1}abc \rightarrow cba)^TU^TA^TAUA^{-1}\neq ERightarrow AB=B</tex>. То есть <tex>AO_nA^{-1}abc \rightarrow bca \in A, \, abc \rightarrow cba \in B: (abc \rightarrow bca)(abc \rightarrow cba)=(abc \rightarrow bca) \neq O_nRightarrow AB=E</tex>, что и означает, что . Противоречие. То есть согласованного с группой умножения нет. <tex>O_n\Rightarrow S_3/S'_2</tex> не является нормальной подгруппой <tex>GL_n</tex>группой.}}
Нет описания правки
== Факторгруппа ==
Рассмотрим [[группа|группу]] <tex>G</tex> и ее [[нормальная подгруппа|нормальную подгруппу]] <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> {{---}} множество [[Смежные классы|смежных классов]] <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу.
* Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.
* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
