Факторгруппа

Материал из Викиконспекты
Версия от 13:53, 30 июня 2010; 192.168.0.2 (обсуждение) (Новая страница: «== Факторгруппа == Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex>…»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] - множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

[math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]

Таким образом, фактормножество [math]G/H[/math] образует подгруппу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] - [math]a^{-1}H[/math].