Факты из математического анализа

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:43, 28 июня 2010; Николай (обсуждение | вклад) (Оценка ряда f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) с помощью \int \limits_{1}^{n} f(x) dx для монотонных функций.)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!


Оценка ряда [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math] с помощью [math] \int \limits_{1}^{n} f(x) dx [/math] для монотонных функций.

Утверждение:
Пусть есть ряд состоящий из значений функций: [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math], притом [math] f_n [/math] либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда ряд из [math] f_n [/math] монотонно возрастает. Оценим ряд сверху: [math] {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} [/math]

Аналогично оценим ряд снизу.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о [math] \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) [/math]

Теорема о [math] \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) [/math]

Формула Тейлора

Теорема о [math] \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) [/math]