Изменения

'''Фибоначчиевы кучиФибоначчиева куча''' (англ. ''Fibonacci heap'' ) {{-- модификация -}} структура данных, отвечающая интерфейсу [[Биномиальная_кучаПриоритетные очереди#Операции |биномиальных кучприоритетная очередь]]. Эта структура данных имеет меньшую [[Амортизационный анализ#Основные определения | амортизированную сложность]], в которых всех операции, где не требуется удаление элементов, имеют амортизированную стоимость чем такие приоритетные очереди как [[Биномиальная куча | биномиальная куча]] и [[Двоичная куча | двоичная куча]]. Изначально эта структура данных была разработана Майклом Фридманом<texref> O(1) [[wikipedia:en:Michael_Fredman | Майкл Фридман {{---}} Википедия]]</texref>. Также являются сливаемыми кучами("mergeable heap"). Теоретически полезны тогда, когда операций и Робертом Тарьяном<texref> Extract\_min [[wikipedia:en:Robert_Tarjan | Роберт Тарьян {{---}} Википедия]]</texref> и при работе по улучшению асимптотической сложности [[Алгоритм Дейкстры | алгоритма Дейкстры]]. Свое название Фибоначчиева куча получила  из-за использования некоторых свойств чисел Фибоначчи<texref> Delete [[wikipedia:en:Fibonacci_number | Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]</texref> значительно меньшев [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов | потенциальном анализе]] этой реализации.== Структура ==Фибоначчиева куча {{---}} набор из [[Дерево, чем остальныхэквивалентные определения | подвешенных деревьев]] удовлетворяющих свойству: каждый предок не больше своих детей(если дерево на минимум). К сожалениюЭто означает, скрытые константы великичто минимум всей кучи это один из корней этих деревьев. Одно из главных преимуществ Фибоначчиевой кучи {{---}} гибкость её структуры из-за того, так что на практике использование фибоначчиевых куч оказывается нецелесообразным: обычные деревья не наложены никакие ограничения по форме. Например, Фибоначчиева куча может состоять хоть из деревьев в каждом из которых по одному элементу. Такая гибкость позволяет выполнять некоторые операции лениво, оставляя работу более поздним операциям. Далее будут даны некоторые определения, которые понадобятся в дальнейшем.{{Определение|definition='''Степень вершины''' (англ. ''degree'') {{---}} количество детей данной вершины. Далее будем обозначать как <tex>degree(x)</tex>, где <tex> k x</tex> - ичные кучи на практике эффективнееэто вершина. = Фибоначчиевы деревья =}}

'''Фибоначчиево деревоСтепень кучи''' (англ. ''degree'') {{--- биномиальное дерево}} наибольшая степень вершины этой кучи. Далее будем обозначать как <tex>degree(H)</tex>, где у каждой вершины удалено не более одного ребенка<tex>H</tex> это куча.

{{Лемма== Реализация == [[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]Для возможности быстрого удаления элемента из произвольного места и объединением с другим списком будем хранить их в [[Список#Циклический список |statementциклическом двусвязном списке]]. Также будем хранить и все уровни поддерева. Исходя из этого структура каждого узла будет выглядеть вот так.<code style="display:inline-block"> '''struct''' Node '''int''' key <span style="color:#008000"> // ключ</span> '''Node''' parent <span style="color:#008000"> // указатель на родительский узел</span> '''Node''' child <span style="color:#008000"> // указатель на один из дочерних узлов</span> '''Node''' left <span style="color:#008000"> // указатель на левый узел того же предка</span>Фибоначчиево дерево '''Node''' right <span style="color:#009000"> // указатель на правый узел того же предка</span> '''int''' degree <span style="color:#008000"> // степень вершины</span> '''boolean''' mark <span style="color:#008000">// был ли удален в процессе изменения ключа ребенок этой вершины)</span></code>Также стоит упомянуть, что нам нужен указатель только на одного ребенка, поскольку остальные хранятся в двусвязном списке с ним. Для доступа ко всей куче нам тоже нужен всего один элемент, поэтому разумно хранить именно указатель на минимум кучи (он обязательно один из корней), а для получения размера за константное время будем хранить размер кучи отдельно.<code style="display:inline-block"> '''struct''' fibonacciHeap '''int''' size <span style="color:#008000">// текущее количество узлов</span> '''Node''' min <span style="color:#008000">// указатель на корень дерева с вершиной степени минимальным ключом</span> </code>==== Cоздание кучи ====Инициализация кучи.<code style="display:inline-block"> '''function''' buildHeap: min <tex> k = \varnothing</tex> содержит size = 0</code>==== Вставка элемента ====Данная операция вставляет новый элемент в список корней правее минимума и при необходимости меняет указатель на минимум кучи.<code style="display:inline-block"> '''function''' insert(x: '''int'''): '''Node''' newNode <span style="color:#008000"> // создаем новый узел</span> newNode.key = x <span style="color:#008000"> // инициализируем ключ нового узла</span> '''if''' size = 0 <span style="color:#008000"> // если куче нет элементов, то только что добавленный минимальный</span> min = newNode min.left = newNode min.right = newNode '''else'''<span style="color:#008000"> // иначе аккуратно меняем указатели в списке, чтобы не менее перепутать указатели</span> '''Node''' prevRight = min.right min.right = newNode newNode.left = min newNode.right = prevRight prevRight.left = newNode '''if''' newNode.key < min.key min = newNode <span style="color:#008000"> // меняем указатель на минимум, если надо</span> newNode.parent <tex> F_k = \varnothing</tex> size++ <span style="color:#008000"> // не забываем увеличить переменную size </span></code>==== Получение минимального элемента ====Получение минимума всей кучи.<code style="display:inline-block"> '''int''' getMin: '''return''' min.key</code>==== Соедининение двух куч ====Для сливания двух Фибоначчиевых куч необходимо просто объединить их корневые списки, а также обновить минимум новой кучи, если понадобится. Вынесем в вспомогательную функцию <tex>unionLists</tex> логику, объединяющую  два списка вершины, которых подаются ей в качестве аргументов.<code style="display:inline-block"> '''function''' unionLists(first: '''Node''', second: '''Node'''): '''Node''' L = first.left <span style="color:#008000"> // аккуратно меняем указатели местами указатели</span> '''Node''' R = second.right second.right = first first.left = second L.right = R R.left = L</code>Сливаем два корневых списка в один и обновляем минимум, если нужно. <code style="display:inline-block"> '''function''' merge(that: '''fibonacciHeap'''): '''if''' that.size = 0 <span style="color:#008000"> // если вторая куча пуста, нечего добавлять</span> '''return''' '''if''' size = 0 <span style="color:#008000"> // если наша куча пуста, то результатом будет вторая куча</span> min = that.min size = that.size '''else''' unionLists(min, that.min) <span style="color:#008000"> // объединяем два корневых списка</span> size += that.size '''if''' min <tex>= \varnothing</tex> '''or''' (that.min <tex> \neq \varnothing</tex> '''and''' that.min < min) <span style="color:#008000">// если минимум кучи изменился, то надо обновить указатель</span> min = that.min</code> ==== Удаление минимального элемента====Первая рассматриваемая операция, в ходе которой значительно меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex>consolidate</tex>, благодаря которой собственно и достигается желанная амортизированная оценка. В данном случае <tex> min = \varnothing</tex> не рассматривается и считается нарушением предусловий <tex>deleteMin</tex><code style="display:inline-block"> '''int''' deleteMin: '''Node''' prevMin = min unionLists(min, min.child) <span style="color:#008000"> // список детей min объединяем с корневым</span> '''Node''' L = min.left <span style="color:#008000"> // аккуратно удаляем min из списка</span> '''Node''' R = min.right L.right = R R.left = L '''if''' prevMin.right = prevMin <span style="color:#008000"> // отдельно рассмотрим случай с одним элементом</span> min <tex>= \varnothing</tex> k '''return''' min = min.right <span style="color:#008000"> // пока что перекинем указатель min на правого сына, а далее consolidate() скорректирует min в процессе выполнения</span> consolidate() size-- '''return''' prevMin.key</code>===== Прорежение деревьев =====Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> число Фибоначчиdegree(H) + 1</tex> вершин.|proof=Для вершин со степенью этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0 \dots D[H]] </tex>, где <tex> degree(H) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке. Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 соответствующие деревья содержат </tex>. Продолжаем, пока не менее одной найдем свободную ячейку. Подвешиваем мы его следующим образом: в корневой список добавляем корень минимальный из тех двух, а корень другого добавляем в список детей корневой вершины. Чтобы лучше понять этот процесс лучше воспользоваться [https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/FibonacciHeap.html визуализатором]<code style="display:inline-block"> '''function''' consolidate: A = '''Node[]''' A[min.degree] = min <span style="color:#008000"> // создаем массив и инициализируем его min</span> '''Node''' current = min.right '''while''' A[current.degree] <tex>\neq</tex> current<span style="color:#008000"> // пока элементы массива меняются</span> '''if''' A[current.degree] <tex>= \varnothing</tex> <span style="color:#008000"> // если ячейка пустая, то положим в нее текущий элемент</span> A[current.degree] = current current = current.right '''else''' <span style="color:#008000"> // иначе подвесим к меньшему из текущего корня и того, который лежит в ячейке другой</span> '''Node''' conflict = A[current.degree] '''Node''' addTo, adding '''if''' conflict.key < current.key addTo = conflict adding = current '''else''' addTo = current adding = conflict unionLists(addTo.child, adding) adding.parent = addTo addTo.degree++ current = addTo '''if''' min.key > current.key <span style="color:#008000"> // обновляем минимум, если нужно</span> min = current </code>'''Пример''' Изначально добавляем в нашу кучу <tex>7</tex> элементов <tex>56, 22, 84, 32, 85, 15, 16</tex>. После этого выполним операцию извлечения минимума: [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-1.png|thumb|center|500px|Начальное состояние кучи]]  * Удалим минимальный элемент из циклического корневого списка и заведем массив <tex>A</tex> для дальнейшего прорежения.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-2.png|thumb|center|500px|Удаление мимимума и создание массива]]  * Начнем процесс протяжения с первого элемента {{---}} <tex>56</tex>. Его степень равна <tex>0</tex> поэтому запишем его адрес в нулевую ячейку массива.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-3.png|thumb|center|500px|Состояние массива после первой итерации]]  * Следующий элемент <tex>22</tex> тоже имеет степень <tex>0</tex>. Возникает конфликт, который решается подвешиванием к меньшему корню большего. То есть к <tex>22</tex> подвешиваем <tex>56</tex> и увеличиваем степень <tex>22</tex> на <tex>1</tex>. В итоге степень <tex>22</tex> равна <tex>1</tex>. Записываем адрес <tex>22</tex> по индексу <tex> F_0 \ge 1</tex> в массив. [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-4.png.png|thumb|center|500px|Состояние после второй итерации]]  * Делаем тоже самое, F_1 \ge что и на предыдущих итерациях, но теперь объединяем <tex>32</tex> и <tex>84</tex>  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-5.png|thumb|center|500px|Состояние после четвертой итерации]]  * Теперь у нас два элемента со степенью <tex>1 </tex> в корневом списке. Объединим их подвесив к меньшему корню {{---}} <tex>22</tex>, больший {{---}} <tex>32</tex>.Теперь степень <tex>22</tex> равна <tex>2</tex>, запишем на <tex>2</tex> позицию массива обновленное значение.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-6.png|thumb|center|500px|Состояние после пятой итерации]]   * Ну и наконец аналогично объедений последние два элемента.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-7.png|thumb|center|500px|Финальное состояние кучи]]

Рассмотрим дерево степени ==== Уменьшение значения элемента ====Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> k O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой [[Список |список]]. Итак, сам алгоритм:

Оно # Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в худшем случае корневой [[Список |список]], и производим каскадное вырезание родителя. <code style="display:inline-block"> '''function''' decreaseKey(x: '''Node''', newValue: '''int'''): '''if''' newValue > x.parent.key <span style="color:#008000"> // если после изменения структура дерева сохранится, то меняем и выходим</span> x.key = newValue '''return''' '''Node''' parent = x.parent <span style="color:#008000"> // иначе вызываем cut и cascadingCut</span> cut(x) cascadingCut(parent)</code>===== Вырезание =====При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (удален ребенок ранка <tex> k - 1 x.p.degree </tex>) содержит и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> 1 + F_1 + F_2 + x.mark = false </tex>).<code style="display:inline-block"> '''function''' cut(x: '''Node''') '''Node''' L = x.left '''Node''' R = x.right R.left = L <span style="color:#008000"> // аккуратно удаляем текущую вершину</span> L.right = R x.parent. + F_{kdegree--2} '''if''' x.parent.child = x <span style="color:#008000"> // чтобы родитель не потерял ссылку на сыновей проверяем: </span> '''if''' x.right = x. <span style="color:#008000"> // если узел который мы вырезаем содержится в родителе, то меняем его на соседний</span> x.parent.child <tex>= \varnothing</tex> вершин<span style="color:#008000"> // иначе у родителя больше нет детей</span> '''else''' x.parent.child = x.right x.right = x x.left = x x.parent <tex>= \varnothing</tex> unionLists(min, x) <span style="color:#008000"> // вставляем наше поддерево в корневой список</span></code>

Эта сумма===== Каскадное вырезание =====Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, в свою очередьудаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), равна то мы помечаем эту вершину (<tex> F_k x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]<code style="display:inline-block"> '''function''' cascadingCut(x: '''Node''') '''while''' x.mark = '''true''' <span style="color:#008000"> // пока у нас помеченые вершины вырезаем их</span> cut(x) x = x.parent x.mark = true <span style="color:#008000"> // последнюю вершину нужно пометить {{---}}у нее удаляли ребенка</span></code>

Дети любой * Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины связаны в циклический двусвязный списокс ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Такие списки удобны по двум причинамНо у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: из такого списка можно удалить вершинувырезаем ее, помещаем в корневой [[Список |список]] и два таких списка можно связать в помечаем ее родителя.* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один за ребенок, поэтому операция <tex> O(1) \mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex>фибоначчиевых деревьев.

Также в любой вершине хранятся поля ==== Удаление элемента ====Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> degree[x], -\, mark[x] infty </tex>и последующим извлечением минимума.<code style="display: степень вершиныinline-block"> '''function''' delete(число ее детейx: '''Node''') и пометка о том decreaseKey(x, потеряла ли вершина <tex> x -\infty</tex> ребенка после того, как она в последний раз сделалась чьим-либо потомком.) deleteMin()</code>

= Фибоначчиевы = Время работы ====== Потенциал ====Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи как <tex> \Phi = trees + 2 * marked </tex>, где <tex> trees </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи , а <tex> marked </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.==== Cоздание кучи ====Очевидно, что реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.==== Вставка элемента ====Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> trees(H') = trees(H) + 1 </tex> и <tex> marked(H') = marked(H) </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (trees(H) + 1 + 2 * marked(H)) - (trees(H) + 2 * marked(H)) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.==== Получение минимального элемента ====Истинное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.==== Соедининение двух куч ====Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.==== Удаление минимального элемента====Для доказательства времени работы этого алгоритма нам понадобится доказать несколько вспомогательных утверждений.{{Лемма|id=Лемма1|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex><tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:<tex>F_n =\begin{cases} 0, & n = 0 \\ 1, & n = 1 \\ F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2\end{cases} </tex>|proof=Докажем лемму по индукции:

{{Определение|definitionпри <tex>n ='''Фибоначчиева куча''' - набор фибоначчиевых деревьев.}}2</tex>

[[File:Fibonacci-heap<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.png|thumb|273px|Пример фибоначчиевой кучи]]

Корни фибоначчиевых деревьевПо индукции предполагаем, составляющих фибоначчиеву кучу, также объединены в двусвязный циклический список(корневой список, root list). В отличие от биномиальных куч, в корневом списке может находиться несколько деревьев с одной и той же степенью корнячто <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

Доступ к куче осуществляется с помощью указателя <tex> min[H] F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>, указывающего на минимальную вершину в куче.}}

Доказательство времени работы для всех операций с фибоначчиевыми кучами проводим с помощью методов амортизационного анализа{{Лемма|id=Лемма2|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.|proof=Докажем это утверждение по индукции.Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = Операции =0</tex>

<tex>s_0 == Потенциал ==1 > F_0</tex>.

Введем потенциал фибоначчиевой кучи При <tex> \Phi(H) n = C(t[H] + 2m[H]) 1</tex>, как количество элементов в корневом списке (<tex> t[H] </tex>) прибавить удвоенное количество вершин с <tex> mark[x] == true \, (m[H]) </tex>. Подходящую константу <tex> C </tex> выберем позже, на этапе анализа каскадного вырезания. На языке метода предоплаты это выглядит следующим образом: возле каждого корня лежит одна монета, а возле каждой вершины, у которой удалили ребенка, лежит две монеты.

<tex>s_1 =1 = Создание кучи ==F_1</tex>.

Создается новый пустой корневой списокПредположим по индукции, в что для всех <tex> min[H] </tex> устанавливается значение i <tex> null n \ s_i \geqslant F_i</tex>. Реальное время работы - Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex> O(n - 1) </tex>.Тогда

<tex>s_n =1 + \sum\limits_{i= Слияние =0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит простоНо по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] : объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы - <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы - также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = Вставка элемента F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>}}{{Лемма|id=Лемма3|statement=<tex>F_n =O(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>|proof=Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Амортизированная стоимость операции: 1 (создание кучи) + 2 (слияние куч + релаксация минимума) + 1(изменение потенциала) = 4Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n == Извлечение минимума ==0</tex>

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура Consolidate("уплотнение" кучи). Возьмем указатель на <tex> min[H] F_0 =</tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <texdpi="160"> D[H] </tex>, где <tex> D[H] </tex> \frac {\varphi^0 - (- максимальная степень вершины в куче\varphi) все положим в корневой список. Теперь вызываем процедуру <tex> Consolidate ^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n === "Уплотнение" (Consolidate) ===1</tex>

Данная процедура принимает кучу, и делает из нее кучу, в корневом списке которой <tex> OF_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(D[H]\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex> вершин, что также верно.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев По индукции предполагаем, что <tex> A[0..D[H]] F_{n-1} =</tex>, где <texdpi="160"> D[H] \frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n- максимальная степень вершины в текущем корневом списке. Далее мы увидим, что 2} =</tex> D[H] <tex dpi= O"160">\frac {\varphi^{n-2} - (logN-\varphi) ^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>.Тогда

Затем происходит [[Биномиальная_куча#Union | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч ]] добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex>. Если в соответствующей ячейке A еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <texdpi="160"> d \frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + 1 \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <texdpi="160"> Consolidate = \frac {1} {\sqrt 5}</tex> равна <tex> O(D[H]\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2})) </tex>. Докажем это:

Пусть изначально в корневом списке было Подставив вместо <tex> r \varphi</tex> вершин. Тогда в ходе операции <tex> Consolidate </tex> мы сделали его значение, нетрудно убедится, что <tex> O(r) </tex> слияний деревьев. Но эти <tex> O(r) </tex> слияний скомпенсируются уменьшением потенциала <tex> t_i + \Phi_i varphi^{- 1} + \Phi_varphi^{i - 12} = r -\varphi + C(O(D[H]) - r) \varphi^{2} = O(D[H]) </tex>. Остальных действий будет также <tex> O(D[H]) </tex>. Таким образом, учетная стоимость <tex> Consolidate: \, O(D[H]) 1</tex>.

На языке метода предоплаты: Положим у каждой вершиныПоскольку <tex>\left\vert (-ребенка удаленной монету. Это \varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <texdpi="160"> O\frac {(D[H]-\varphi) ^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex> действий. Теперь: у каждой вершины в корневом списке лежит монетаТаким образом, потратим ее на то, чтобы провести процедуру <tex> Consolidate n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Получили новый корневой списокСледовательно, снова раздаем монеты каждой вершине. Итого <tex> F_n =O(D[H]) + O(D[H]\varphi^n) </tex> действий.}}

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была {{Лемма|id=Лемма4|statement=Максимальная степень <tex>degree</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex> O(1\log n) </tex>|proof=Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. ХотимТогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, чтобы вершина содержится не всплывала до корня. Для этогоменее <tex>F_k</tex> вершин, при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его что в корневой списоксвою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>O(\varphi^k)</tex>. Итак, сам алгоритм:То есть

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем <tex> degree[p[x]] \log_{\varphi}n \geqslant k</tex> и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> mark[x] = false </tex>).

Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(degree)+O(degree)=O(degree) </tex>. По доказанной выше [[File:Cascading-cut.png#Лемма4|thumb|273px|Каскадное вырезаниелемме]]<tex>O(degree) = O(\log(n))</tex>.

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, что перед этим мы удалили ребенка у этой вершины. Если Учетная стоимость <tex> mark[x] == false \mathrm {consolidate} </tex>, то мы ставим эту пометку равна <tex> true O(degree) </tex> и заканчиваем. В противном случае, вырезаем текущую вершину, и запускаем каскадное вырезание от родителя.Докажем это:

ДокажемИзначально в корневом списке было не более <tex> degree + trees - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>trees</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, что амортизированное время работы количество которых не превышает <tex> degree </tex>. В ходе операции "уменьшение ключа" есть <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(1degree + trees) </tex>слияний деревьев. Поскольку Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> trees + 2 * marked </tex>, а после не превышает <tex> degree + 1 + 2 * marked</tex>, поскольку в процедуре нет цикловкорневом списке остается не более <tex> degree + 1 </tex> узлов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезанияа количество помеченных узлов не изменяется.Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Тогда вершин с пометкой <tex> mark[x] == true </tex> стало на <tex> k </tex> меньше, а в корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых вершин. Итого, время работы будет: <tex> O(kdegree + trees) + \Phi_i (degree + 1 + 2 * marked) - \Phi_{i - 1} = O(k) trees + C(k - 2 * k + marked) = O(1degree)) </tex>. Теперь, подбирая соответствующую константу в потенциале, можем добиться того, чтобы амортизированное время работы этой процедуры стало <tex> + O(1trees) - trees</tex>. Теперь также стало ясно, для чего в определении нашего потенциала количество вершин с пометкой <tex> mark[x] </tex> учитывается вдвое больше, чем количество вершин в корневом списке.

На языке метода предоплаты: ПокажемПоскольку мы договорились, что взяв в начале 4 монетыможем масштабировать единицу потенциала таким образом, нам хватит этого для выполнения данной операции. Возьмем 4 монеты перед началом уменьшения ключа. Теперь 1 монету потратим на перенос в корневой список и релаксацию минимумачтобы покрывать константное количество работы, еще 1 то итоговая амортизационная оценка {{--- на то, чтобы положить монету у новой вершины в корневом списке. У нас осталось 2 монеты. Далее производим каскадное вырезание: в случае, когда }} <tex> O(degree) </tex> mark[p[x]] == false == Уменьшение значения элемента ====Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, кладем 2 монеты к этой вершине, и устанавливаем соответствующую пометку. Инвариант сохраняетсяее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Иначе, Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания подверглось <tex> mark[p[x]] == true k </tex> и там лежит 2 монетыраз. 2 + 2 = 4Так как реальное время работы каждой итерации <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> составляет <tex> O(1) </tex>, и мы можем рекурсивно продолжить данный процесс. Оценка доказанато реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

На рисунке проиллюстрирован процесс понижения ключа вершины c 10 Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до 7вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Серым помечены вершины Тогда после <tex> k </tex> итераций операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark[x] == true </tex>стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((trees + k) + 2 * (marked + k - 2)) - (trees + 2 * marked) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.==== Удаление вершины элемента ====Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(degree) =O(degree) </tex>.

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до Поскольку ранее мы показали, что <tex> degree = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.==== Итоговая таблица ===={| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Операция!style="background-color:#EEE"| Амортизированная сложность|-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\infty mathrm {makeHeap}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы|-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {insert}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex> |-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {getMin}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex> |-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {merge}</tex>|style="background-color:#FFF;padding: 2px 10px"| <tex> O(1) + </tex> |-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {extractMin}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(\log n )</tex> |-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(D[H]1) </tex> |-align="center"|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {delete}</tex>|style= "background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(D[H]\log n ) </tex>.|}

Поскольку, ранее мы показали== Недостатки и достоинства =='''Недостатки''':* Большое потребление памяти на узел(минимум 21 байт)* Большая константа времени работы, что делает ее малоприменимой для реальных задач* Некоторые операции в худшем случае могут работать за <tex> D[H] = O(log|H|) = O(logNn) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.времени'''Достоинства''':* Одно из лучших асимптотических времен работы для всех операций

= Ссылки =См. также ==* [[Приоритетные очереди]]* [[Двоичная куча]]* [[Биномиальная куча]]* [[Левосторонняя куча]]* [[Тонкая куча]]* [[Толстая куча на избыточном счетчике]]* [[Куча Бродала-Окасаки]]== Примечания ==<references/>== Источники информации ==* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4* [[wikipedia:en:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]* [[wikipedia:en:Fibonacci heap|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]* [https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/FibonacciHeap.html Fibonacci heap visualization]* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps {{---}} Duke University]* [https://www.cs.princeton.edu/~wayne/teaching/fibonacci-heap.pdf Fibonacci Heaps {{---}} Princeton University]

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн - [[Категория: Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4* http://ru.wikipedia.org/wiki/Фибоначчиева_куча* http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html - INTUIT.ru* Визуализаторы на rain.ifmo.ru: http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heapsструктуры данных]]* http[[Категория://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdfПриоритетные очереди]]