Изменения

== Определения ==

'''Формальная грамматика''' (англ. ''Formal grammar'') — способ описания формального языка, представляющий собой четверку<tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset ((\Sigma \cup N)^* N (\Sigma \cup N)^{+}*) \times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle</tex>, где :* <tex>\Sigma</tex> — [[Основные_определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов|алфавит]], элементы которого называют '''терминалами''', (англ. ''terminals'');* <tex>N</tex> — множество, элементы которого называют '''нетерминалами''', (англ. ''nonterminals'');* <tex>S</tex> — начальный символ грамматики, (англ. ''start symbol'');* <tex>P</tex> — набор правил вывода (англ. ''production rules'' или ''productions'') <tex>\alpha\rightarrow \beta</tex>.

'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за один шаг''' (<tex>(\alpha \Rightarrow \beta)</tex>):

# <tex>\alpha_1=\beta1beta_1</tex>, <tex>\alpha_3=\beta3beta_3</tex>, <tex>\alpha_2\rightarrow\beta2 beta_2 \in P</tex>.

'''<tex>\beta</tex> выводится из <tex>\alpha</tex> за ноль или более шагов''' (<tex>(\alpha \Rightarrow^* \beta)</tex>):<br/><tex>\exists \gamma_1, \gamma_2,...\ldots,\gamma_n : \alpha \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2 \Rightarrow ... \ldots \Rightarrow \gamma_n \Rightarrow \beta</tex>([[Транзитивное замыкание | Рефлексивно-транзитивное замыкание]] отношения <tex>\Rightarrow</tex>).

'''Языком грамматики''' (англ. ''Language of grammar'') называется <tex>L(\Gamma) = \{\omega \in \Sigma^{*}|\mid S \Rightarrow^{*}\omega\}</tex>.

{{Определение|id=sform|definition = '''Сентенциальная форма''' (англ. ''Sentential form'') — последовательность терминалов и нетерминалов, выводимых из начального символа. }} == Обозначения ==* Нетерминалы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита(например: <tex>A, B, C</tex>).* Терминалы обозначаются строчными буквами из начала латинского алфавита(например: <tex>a, b, c</tex>).* Последовательности из терминалов (слова) обозначают строчными буквами из конца латинского или греческого алфавита(например: <tex>\omega</tex>).<br/>* Последовательности из терминалов и нетерминалов обозначаются строчными буквами из начала греческого алфавита(например: <tex>\beta, \alpha</tex>).

==Примеры грамматик=====Правильные скобочные последовательности===

S \rightarrow to (S)\\S \rightarrow to SS\\S \rightarrow to \epsilonvarepsilon

</tex><br/>

<tex>S\rightarrowRightarrow(\boldsymbol{S})\rightarrowRightarrow(SS\boldsymbol{S}S)\rightarrowRightarrow((S)\boldsymbol{S})\rightarrowRightarrow((\boldsymbol{S})(S))\rightarrowRightarrow(()(\boldsymbol{S}))\rightarrowRightarrow(()())</tex>.

<tex>S\rightarrowRightarrow(\boldsymbol{S})\rightarrowRightarrow(SS\boldsymbol{S}S)\rightarrow((S)\boldsymbol{S})\rightarrow((\boldsymbol{S})(S))\rightarrow</tex><br/><tex>\rightarrow((SS\boldsymbol{S}S)((S)))\rightarrow (((\boldsymbol{S})S)((S))) \rightarrow ((()\boldsymbol{S})((S)))\rightarrow</tex><br/><tex>\rightarrow((()(\boldsymbol{S}))((S)))\rightarrow ((()())((\boldsymbol{S})))\rightarrow ((()())(()))</tex>.

===Арифметические выражения===<tex>\Sigma = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, *, /, -, (, )\}</tex>

O \rightarrow + | \mid - | \mid * | \mid /\\D \rightarrow 1 | \mid 2 | \mid 3 | \mid 4 | \mid 5 | \mid 6 | \mid 7 | \mid 8 | \mid 9\\N \rightarrow NN | \epsilonmid \varepsilon\\N \rightarrow 0 | \mid 1 | \mid 2 | \mid 3 | \mid 4 | \mid 5 | \mid 6 | \mid 7 | \mid 8 | \mid 9.

Вывод строки <tex>2+2*2</tex>: <tex>S \Rightarrow SO\boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{S} OSOS \Rightarrow 2O \boldsymbol{S} OS \Rightarrow 2O2O \boldsymbol{S} \Rightarrow 2 \boldsymbol{O} 2O2 \Rightarrow 2+2\boldsymbol{O}2 \Rightarrow 2+2*2</tex>. [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|Левосторонний вывод]] этой же строки: <tex>S \Rightarrow \boldsymbol{S}OS \Rightarrow 2\boldsymbol{O}S \Rightarrow 2+\boldsymbol{S} \Rightarrow 2+\boldsymbol{S}OS \Rightarrow 2+2\boldsymbol{O}S \Rightarrow 2+2*\boldsymbol{S} \Rightarrow 2+2*2</tex>. ===Язык <tex>0^n1^n2^n</tex>=== Данный язык является [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1 |контекстно-зависимым]]. КЗ-грамматика для языка приведена ниже, а через [[Лемма о разрастании для КС-грамматик#Пример доказательства неконтекстно-свободности языка с использованием леммы | лемму о разрастании]] доказывается его неконтекстно-свободность.  <tex>\Sigma = \{0, 1, 2\}</tex> <tex>S \rightarrow SOS 012 \\S \rightarrow SOSOS 0TS2 \\T0 \rightarrow 2OSOS 0T \\ T1 \rightarrow 2O2OS 11 </tex> Вывод строки <tex>000111222</tex> : <tex>S \Rightarrow 0T\boldsymbol{S} 2 \Rightarrow 0T0T\boldsymbol{S}22 \Rightarrow 0T0\boldsymbol{T0}1222 \Rightarrow 0\boldsymbol{T0}0T1222 \Rightarrow 00\boldsymbol{T0}T1222 \Rightarrow 000T\boldsymbol{T1}222 \Rightarrow 000\boldsymbol{T1}1222 \Rightarrow 000111222</tex> Данная грамматика описывает этот язык, так как мы можем вывести любую строку одним методом. <tex>n-1</tex> раз выполняем правило вывода <tex>S \rightarrow 2O2O2 0TS2 </tex>. Потом выполняем правило <tex>S \rightarrow 2+2O2 012 </tex>, <tex>n-1</tex> раз выполняем <tex>T0 \rightarrow 0T </tex>. После этого у нас получается строка <tex>0^nT^{n-1}2+2*2^n</tex>. Выполняем <tex>n-1</tex>раз последнее правило и в результате получаем искомую строку. == См. также ==* [[Возможность_порождения_формальной_грамматикой_произвольного_перечислимого_языка|Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка]]* [[Иерархия Хомского формальных грамматик|Иерархия Хомского формальных грамматик]]* [[Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность|Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность]]* [[Правоконтекстные грамматики, эквивалентность автоматам|Правоконтекстные грамматики, эквивалентность автоматам]] == Источники информации==* [[wikipedia:Formal_grammar | Wikipedia {{---}} Formal grammar]]* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.) 

= Литература =[[Категория: Теория формальных языков]]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2[[Категория: Контекстно-е изд. свободные грамматики]][[Категория: Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)Базовые понятия о грамматиках]]