Формула Байеса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Формулировка)
Строка 11: Строка 11:
 
: <tex>P(B)</tex> — вероятность наступления события ''B''.
 
: <tex>P(B)</tex> — вероятность наступления события ''B''.
  
Формула выводится из определения условной вероятности:
+
== Доказательство ==
<tex>P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \Rightarrow P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)</tex>
+
<tex>P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}</tex>
: и обобщается на случай нескольких событий.
+
<tex>P(BA)=P(AB)=P(A|B)P(B)</tex>
 +
<tex>P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)</tex>
 +
:  
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==

Версия 17:41, 10 декабря 2010

Определение:
Формула Байеса — одна из основных формул элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие, имея на руках лишь косвенные тому подтверждения, которые могут быть неточны.

Формулировка

[math]P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}[/math],

где

[math]P(A)[/math] — вероятность события A;
[math]P(A|B)[/math] — вероятность события A при наступлении события B;
[math]P(B|A)[/math] — вероятность наступления события B при истинности события A;
[math]P(B)[/math] — вероятность наступления события B.

Доказательство

[math]P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}[/math] [math]P(BA)=P(AB)=P(A|B)P(B)[/math] [math]P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)[/math]

Пример

Пусть событие А истинно, если анализ на грипп положительный, событие B1 отвечает за грипп, B2 отвечает за другую болезнь. Также предположим, что:

[math]P(A|B_1)[/math]=0,9,
[math]P(A|B_2)[/math]=0,001,
[math]P(B_1)[/math]=0,01,
[math]P(B_2)[/math]=0,99.

Рассмотрим вероятность гриппа при положительном анализе:

[math]P(B_1|A)=\frac{P(B_1 \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}=\frac{100}{111}[/math]

См. также