Изменения

== Формула Байеса ==По '''формуле Байеса ''' можно более точно пересчитать вероятность, беря в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — {{---}} предполагаемые события, повлекшие данное.==Теорема==

|definition='''Формула Байеса''' (или теорема Байеса) (англ. ''Bayes' theorem'') {{---}} формуласоотношение различных предполагаемых вероятностей различных событий, позволяющая определить которое дает вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним какое-то событие<tex>A</tex> является результатом <tex>X</tex> ряда независимых друг от друга событий <tex>B_1,B_2 \ldots B_n</tex>, который, возможно, привел к <tex>A</tex>.

{{Теорема| about == Формулировка =формула Байеса| statement =:<tex>P(B_i|A)=\genfrac{}{}{}{0}dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}</tex>,

: <tex>P(A)</tex> — {{---}} вероятность события <tex>A</tex>,: <tex>P(A|B)</tex> — {{---}} вероятность события <tex>A</tex> при наступлении события <tex>B</tex>,: <tex>P(B|A)</tex> — {{---}} вероятность наступления события <tex>B</tex> при истинности события <tex>A</tex>,: <tex>P(B)</tex> — {{---}} вероятность наступления события <tex>B</tex>.| proof =

== Доказательство ==Формула Байеса вытекает из Из замечания определения [[Условная вероятность|условной вероятности]].следует, что вероятность произведения двух событий равна:

По [[Формула полной вероятности|формуле полной вероятности]]:: <tex>P(A)=\sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)</tex> (по [[Формула полной вероятности|формуле полной вероятности]])

: <tex>P(B_i|A)=\genfrac{}{}{}{0}dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}</tex>  }}

Пусть событие <tex>A</tex> наступило в результате осуществления одной из гипотез <tex>B_1,B_2...\ldots B_n</tex> . Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?

<tex>P(B_1|A)=\genfrac{}{}{}{0}dfrac{P(B_1 \cap A)}{P(A)}=\genfrac{}{}{}{0}dfrac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}=\genfrac{}{}{}{0}dfrac{100}{111}</tex>

При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание ''<tex>N'' </tex> у больного равна <tex>0.95</tex>, вероятность принять здорового человека за больного равна <tex>0.05</tex>. Доля больных по отношению ко всему населению равна <tex>0.01</tex>. Найти вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

<tex>Р P(A|B_1) = \genfrac{}{}{}{0}dfrac{0.99 \cdot 0.05}{0.99 \cdot 0.05 + 0.01 \cdot 0.95}= 0.839</tex>

Таким образом, <tex>83.9 9\% </tex> людей, у которых обследование показало результат «болен», на самом деле здоровые люди. Удивительный результат возникает по причине значительной разницы в долях больных и здоровых. Болезнь ''<tex>N'' — </tex> {{---}} редкое явление, поэтому и возникает такой парадокс Байеса. При возникновении такого результата лучше всего сделать повторное обследование.

Существует метод для фильтрации спама, основанный на применении '''наивного байесовского классификатора'''<ref>[http://www.machinelearning.ru/wiki/images/9/98/Voron-ML-Bayes-slides.pdf К.В.Воронцов {{---}} Наивный байесовский классификатор] </ref>, в основе которого лежит применение теоремы Байеса.Допустим, у нас есть Имеется набор писем: спам и не спам. Считаем Подсчитаем для каждого слова вероятность встречи в спаме, количество в спаме ко всему количеству в тексте.Аналогично для слов из не спама. Считаем Подсчитаем произведения вероятностей для каждого из класса, и где максимум, туда и определяем письмо. 

* Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, {{---}} М.: Высшее образование. 2005{{---}} 52 с.