Просмотр исходного текста страницы Формула Тейлора для полиномов

{{В разработке}}

== Степень полинома ==

{{Определение
|definition=
Пусть полином <tex>P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n a_kx^k</tex>. Тогда при <tex>a_n \ne 0</tex>, <tex>n = \deg P_n</tex> {{---}} '''степень полинома'''.
}}

== Теорема Тейлора ==

{{Теорема
|about=
Тейлор
|statement=
<tex>\forall x_0 \in \mathbb{R} \ P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k</tex> {{---}} разложение 
полинома по степеням <tex>x - x_0</tex>
|proof=
Установим существование коэффициентов <tex>b_0, b_1, \ldots , b_n: \ P_n = \sum\limits_{k = 0}^n b_k (x-x_0)^k</tex>.

Забавный факт: <tex>x = x - x_0 + x_0</tex>. Тогда <tex>x^k = (x - x_0 + x_0)^k = \sum\limits_{j=0}^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>

<tex>P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k = \sum\limits_{k = 0}^n a_k \sum\limits_{j=0}^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>

Так как в этой повторной сумме <tex>x - x_0</tex> присутствует максимум в <tex>n</tex>-й степени, то коэффициент при старшей степени будет иметь индекс <tex> n </tex>. Собрав коэффициенты при одинаковых степенях <tex>x-x_0</tex>, получим искомые коэффициенты <tex>b_i</tex>

Теперь докажем, что <tex dpi=150>b_k = \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!}</tex>.

<tex>(x^p)^{(k)} = p(p-1)(p-2) \ldots (p - k + 1)x^{p - k}</tex>. Отсюда видно, что если порядок дифференцирования <tex>k</tex>:
* больше, чем <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} = 0</tex>
* равен <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} = p!</tex>
* меньше, чем <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} |_0 = 0</tex>

Итак, если порядок не равен <tex>k</tex>, то значение <tex>k</tex>-й производной в нуле равно 
<tex>\left. (x^p)^{(k)} \right|_0 = 0</tex>

Тогда <tex>(P_n(x))^{(j)} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n b_k (x-x_0)^k \right)^{(j)}</tex>

При <tex>j \leq n</tex>: <tex>P_n^{(j)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n b_k ((x - x_0)^k)^{(j)}</tex>

В силу вышесказанного, при <tex>x = x_0</tex>, получаем, <tex dpi=150>P_n^{(j)}(x_0) = b_j \cdot j! \Rightarrow b_j = \frac{P_n^{(j)}(x_0)}{j!}</tex>
}}

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]