168
правок
Изменения
→Степень полинома
{{Определение
|definition=
Пусть полином <tex>P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n a_kx^k</tex>. Тогда при <tex>a_0 a_n \ne 0</tex>, <tex>n = \deg P_n</tex> {{---}} '''степень полинома'''.
}}
Тейлор
|statement=
<tex dpi=150>\forall x_0 \in \mathbb{R} \ P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k</tex> {{---}} разложение
полинома по степеням <tex>x - x_0</tex>
|proof=
Забавный факт: <tex>x = x - x_0 + x_0</tex>. Тогда <tex>x^k = (x - x_0 + x_0)^k = \sum\limits_{j=0}^k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>
<tex>P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k = \sum\limits_{k = 0}^n a_k \sum\limits_{j=0}^n k C_j^k (x - x_0)^j x_0^{k - j}</tex>
Так как в этой повторной сумме(что хотел этим сказать автор?) формуле <tex>x - x_0</tex> присутствует максимум в <tex>n</tex>-й степени,собрав то коэффициент при старшей степени будет иметь индекс <tex> n </tex>. Собрав коэффициенты при одинаковых степенях <tex>x-x_0</tex>, получим полином искомые коэффициенты <tex>b_i</tex>
Теперь докажем, что <tex dpi=150>b_k = \frac{P_n^{(k)}(x_0)}{k!}</tex>.
* больше, чем <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} = 0</tex>
* равен <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} = p!</tex>
* меньше, чем <tex>p</tex>, то <tex>(x^p)^{(k)} |_0 = 0</tex>
<tex>\left. (x^p)^{(k)} \right|_0 = 0</tex>
