Изменения

[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<<]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>>]] Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> выполняется следующее: <tex>f(x)=\sum \limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex> <tex> f(x)=f(x_0) + \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex> <brtex>f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex> <tex>\mathcal{4}Delta f(x_0, \Delta{x})=f(x_0 + \Delta{x})-f(x_0)</tex><br> <tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}x_kDelta x^k</tex> <tex>\mathcal{4}Delta f(x_0,\mathcal{4}Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}Delta x,\mathcal{4}Delta x)</tex><ref>Казалось бы, у меня в конспекте в знаменателе второй дроби нет восклицательного знака. Но что-то мне подсказывает, что он там должен быть...</ref><br>Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\mathcal{4}Delta x</tex> — в <tex>\mathcal{4}Delta \overline x</tex><br>, но сначала нужно дополнить наши теоретические построения. Определим частнык частные производные и дифференциалы высших порядков. <tex>\frac \deltapartial{\delta partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \deltapartial{\delta partial y} \left ( \frac {\delta partial f}{\delta x_jpartial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо. В каком случае <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}</tex>? Докажем теорему, отвечающую на этот вопрос для функции двух переменных, для функции n переменных можно поступить аналогично. 

Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y} (\overline a)=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(\overline a)</tex>

<tex>\mathcal{4}_x Delta_x f=f(x+\mathcal{4}Delta x,y)-f(x,y)</tex><br> <tex>\mathcal{4}_y Delta_y f=f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y)</tex><br> <tex>\mathcal{4}_x Delta_x \mathcal{4}_y Delta_y f=\mathcal{4}x Delta_x (f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y))=(f(x+\mathcal{4}Delta x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x+\mathcal{4}Delta x,y))-(f(x,y+\mathcal{4}Delta y)-f(x,y))</tex><br> Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\mathcal{4}_x Delta_x \mathcal{4}_y Delta_y f=\mathcal{4}_y Delta_y \mathcal{4}_x Delta_x f</tex>.<br> Введём функцию : <tex>g(t)=f(t,y+\mathcal{4}Delta y)-f(t,y)</tex>.<br> <tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=g(x+\mathcal{4}Delta x)-g(x)=g'(x+\theta theta_1 \mathcal{4}Delta x)\mathcal{4}Delta x</tex><br> <tex>g'(t)=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(t,y+\mathcal{4}Delta y)-\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(t,y)</tex><br> <tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=\left ( \frac {\delta partial f}{\delta partial x} ( x + \theta_1 \mathcal{4}Delta x,y+\mathcal{4}Delta y ) - \frac {\delta partial f}{\delta partial x}( x + \theta_1 \mathcal{4}Delta x,y) \right )\mathcal{4}Delta x</tex><br> Введем функцию: <tex>gh(t)=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,t)</tex><br> <tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=(gh(y+\mathcal{4}Delta y)-gh(y))\mathcal{4}Delta x=gh'(y+\theta_2 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex><br> <tex>gh'(t)=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,t)</tex><br> <tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,y+\theta_2 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex><br> Аналогично: <tex>\mathcal{4}Delta _y \mathcal{4}Delta _x f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(x+\theta_3\mathcal{4}Delta x,y+\theta_4 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex><br> Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим <tex>\overline a = (a,b)</tex>:<br> <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(a+\theta_1\mathcal{4}Delta a,b+\theta_2 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial b \delta partial a}(a+\theta_3\mathcal{4}Delta a,b+\theta_4 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b~~\forall \mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex><br> В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.

Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до <tex>p</tex>-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: <tex>\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial x^7 \delta partial y^3}=\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial y^3 \delta partial x^7}</tex>, например.<br><br>  Определение дифференциалов высших порядков:<br> <tex>d^{n+1}f(\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x))</tex><br><tex>d^2 f=d\left( \frac {\delta partial f}{\delta partial x}(\overline x) \mathcal{4}Delta x-+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial x^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta x^2+2\frac{\deltapartial^2f}{\delta partial x \delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta x\mathcal{4}Delta y+\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial y^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta y^2.</tex> . Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\mathcal{4}Delta x</tex>, <tex>dy=\mathcal{4}Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>,<tex>dx=bdt</tex><br> <tex>g(t)=f(a+bt,c+dtmt)</tex><br> <tex>dg=g'(t)dt=\left ( \frac {\delta partial f}{\delta partial x}(a+bt)bbdt+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(c+dtmt)dmdt</tex><tex>=\frac {\partial f}{\right partial x}(a+bt)dt=dx+ \frac{\delta partial f}{\delta xpartial y}(c+mt)dy=df</tex><ref>Это весьма себе похоже на правду, но у меня в конспекте написано, цитата: «Мутно и ни фига не видно. TODO: переписать.» Так что, кому не лень, чекните это место и следующие пару строчек после него.</ref><br>  При линейной замене переменных дифференциал первого порядка инвариантен (да и n-го тоже).<br> <tex>g(t)=f(a+bt,c+mt)</tex><br> <tex>d^n g=d^n f</tex>, <tex>dx=bdt,dy=mdt</tex>.<br> ===Формула Тейлора===Рассмотрим пару <tex>(\overline a, \overline b)</tex>: <tex>\overline b - \overline a = \mathcal{4}Delta \overline a</tex><br> <tex>g(t)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)</tex><br> <tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)</tex><br> <tex>g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)</tex> Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить <tex> f <br/tex>обратно, тогда получим: <tex>f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\mathcal{4}Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных. При  В частности, при <tex>n=1</tex>:<br> <tex>f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^nm\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\overline a)\mathcal{4}Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n m \frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x_i \delta partial x_j} (\overline a+\theta \mathcal{4}Delta \overline a)\mathcal{4}Delta a_i\mathcal{4}Delta a_j</tex> [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<<references/]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>>]][[Категория:Математический анализ 1 курс]]