Формула Уитни — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
|proof=
 
|proof=
 
<br>Пусть <tex>K</tex> — некоторый набор из <tex>x</tex> красок. Отображение <tex>\phi</tex> из <tex>VG</tex> в <tex>K</tex>, не являющееся раскраской графа <tex>G</tex>, будем называть его ''несобственной'' раскраской. Всего собственных и несобственных <tex>x</tex> — раскрасок графа <tex>G</tex> — <tex>x^n</tex>.<br>Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа <tex>G</tex>. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф <tex>H</tex>, в котором каждое ребро соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть ''строго несобственной'' раскраской остовного подграфа <tex>H</tex>. Каждой компоненте связности графа <tex>H</tex> соответствует точно один цвет - цвет её вершин. Если остовный подграф <tex>H</tex> имеет <tex>i</tex> компонент связности, то есть <tex>x^i</tex> различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу <tex>H</tex>.<br>Каждая собственная или несобственная раскраска графа <tex>G</tex> является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. Собственным раскраскам графа <tex>G</tex> отвечает нулевой остовный подграф.<br>Пусть <tex>N(i, j)</tex> — число остовных подграфов графа <tex>G</tex>, имеющих <tex>i</tex> компонент связности и <tex>j</tex> рёбер.<br>
 
<br>Пусть <tex>K</tex> — некоторый набор из <tex>x</tex> красок. Отображение <tex>\phi</tex> из <tex>VG</tex> в <tex>K</tex>, не являющееся раскраской графа <tex>G</tex>, будем называть его ''несобственной'' раскраской. Всего собственных и несобственных <tex>x</tex> — раскрасок графа <tex>G</tex> — <tex>x^n</tex>.<br>Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа <tex>G</tex>. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф <tex>H</tex>, в котором каждое ребро соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть ''строго несобственной'' раскраской остовного подграфа <tex>H</tex>. Каждой компоненте связности графа <tex>H</tex> соответствует точно один цвет - цвет её вершин. Если остовный подграф <tex>H</tex> имеет <tex>i</tex> компонент связности, то есть <tex>x^i</tex> различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу <tex>H</tex>.<br>Каждая собственная или несобственная раскраска графа <tex>G</tex> является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. Собственным раскраскам графа <tex>G</tex> отвечает нулевой остовный подграф.<br>Пусть <tex>N(i, j)</tex> — число остовных подграфов графа <tex>G</tex>, имеющих <tex>i</tex> компонент связности и <tex>j</tex> рёбер.<br>
Из общего числа <tex>x^n</tex> собственных и не собственных раскрасок вычтем число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, имеющих ровно одно ребро. Если мы вычтем сумму <tex> \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} </tex>, то мы вычтем помимо указанного числа ещё и избыточную величину. Действительно, допустим <tex>e_1 = u_1v_1</tex> и <tex>e_2 = u_2v_2</tex> — два различных ребра графа <tex>G</tex>. Тогда в число строго несобственных раскрасок остовного подграфа, содержащего точно одно ребро <tex>e_1</tex>, попадут и те, у которых вершины <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>, а это в свою очередь строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего ровно два ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. При этом их число мы вычтем дважды — для <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. Аналогично, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно три, четыре и более ребер будет вычтено соответствующее число раз.<br/>
+
Из общего числа <tex>x^n</tex> собственных и не собственных раскрасок вычтем число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, имеющих ровно одно ребро. Если мы вычтем сумму <tex> \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} </tex>, то мы вычтем помимо указанного числа ещё и строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего ровно два ребра. Более того, это число мы вычтем дважды. Подобным образом, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно три, четыре и более ребер будет вычтено соответствующее число раз.<br/>
Добавим сумму <tex>\sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i}</tex>, компенсируя при этом двукратное вычитание, но при этом возникнет необходимость компенсации излишне добавленных чисел строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя и более ребрами. <br/>  
+
Попытаемся скомпенсировать двукратное вычитание добавлением <tex>\sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i}</tex>, однако при этом добавится излишек строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя и более ребрами. <br/>
Итого, по [[Формула включения-исключения|принципу включения-исключения]] получаем, что число собственных раскрасок графа <tex>G</tex> равно <tex>x^n - \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} + \sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i} - \sum \limits_{i}{N(i, 3)x^i} + ...</tex><br>Так как <tex>N(n, 0) = 1</tex>, то <tex>P(G, x) = \sum \limits_{j=0}^{m}{\sum \limits_{i=1}^{n}{(-1)^jN(i, j)x^i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)x^i}}</tex>.
+
Подобную конструкцию можно рассчитать по [[Формула включения-исключения|формуле включения-исключения]]
 +
Воспользуемся формулой и получим число собственных раскрасок графа <tex>G</tex>. Оно равно <tex>x^n - \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} + \sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i} - \sum \limits_{i}{N(i, 3)x^i} + ...</tex><br>Так как <tex>N(n, 0) = 1</tex>, то <tex>P(G, x) = \sum \limits_{j=0}^{m}{\sum \limits_{i=1}^{n}{(-1)^jN(i, j)x^i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)x^i}}</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 22:59, 16 января 2012

Теорема (Уитни):
Пусть [math]G[/math] - обыкновенный [math](n, m)[/math] - граф. Тогда коэффициент при [math]x^i[/math], где [math]1\le i\le n[/math] в хроматическом многочлене [math]P(G, x)[/math] равен [math]\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}[/math], где [math]N(i, j)[/math] - число остовных подграфов графа [math]G[/math], имеющих [math]i[/math] компонент связности и [math]j[/math] рёбер, т.е. [math]P(G, x) = \sum \limits_{i=1}^{n}{(\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j))x^i}}.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]


Пусть [math]K[/math] — некоторый набор из [math]x[/math] красок. Отображение [math]\phi[/math] из [math]VG[/math] в [math]K[/math], не являющееся раскраской графа [math]G[/math], будем называть его несобственной раскраской. Всего собственных и несобственных [math]x[/math] — раскрасок графа [math]G[/math][math]x^n[/math].
Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа [math]G[/math]. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф [math]H[/math], в котором каждое ребро соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть строго несобственной раскраской остовного подграфа [math]H[/math]. Каждой компоненте связности графа [math]H[/math] соответствует точно один цвет - цвет её вершин. Если остовный подграф [math]H[/math] имеет [math]i[/math] компонент связности, то есть [math]x^i[/math] различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу [math]H[/math].
Каждая собственная или несобственная раскраска графа [math]G[/math] является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. Собственным раскраскам графа [math]G[/math] отвечает нулевой остовный подграф.
Пусть [math]N(i, j)[/math] — число остовных подграфов графа [math]G[/math], имеющих [math]i[/math] компонент связности и [math]j[/math] рёбер.
Из общего числа [math]x^n[/math] собственных и не собственных раскрасок вычтем число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, имеющих ровно одно ребро. Если мы вычтем сумму [math] \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} [/math], то мы вычтем помимо указанного числа ещё и строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего ровно два ребра. Более того, это число мы вычтем дважды. Подобным образом, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно три, четыре и более ребер будет вычтено соответствующее число раз.
Попытаемся скомпенсировать двукратное вычитание добавлением [math]\sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i}[/math], однако при этом добавится излишек строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя и более ребрами.
Подобную конструкцию можно рассчитать по формуле включения-исключения.

Воспользуемся формулой и получим число собственных раскрасок графа [math]G[/math]. Оно равно [math]x^n - \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} + \sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i} - \sum \limits_{i}{N(i, 3)x^i} + ...[/math]
Так как [math]N(n, 0) = 1[/math], то [math]P(G, x) = \sum \limits_{j=0}^{m}{\sum \limits_{i=1}^{n}{(-1)^jN(i, j)x^i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)x^i}}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы