212
правок
Изменения
Нет описания правки
|proof=
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
}}
{{Теорема
|about=
Формула Эйлера для многогранников
|statement=
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> - число вершин, <tex>E</tex> - число ребер и <tex>F</tex> - число граней данного многогранника.
|proof=
Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую <tex>F' = F - 1</tex> многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), <tex>V</tex> вершин и <tex>E</tex> ребер.
Для этой сетки справедливо соотношение <tex>V - E + F ' = 1 </tex>. Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
}}
