Формула Эйлера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 33: Строка 33:
 
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
 
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition='''Многогранником''' называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=Фигура Ф называется '''выпуклой''', если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре.
 +
}}
 +
 +
[[Файл:77891.jpg|350px|thumb|center|Пример невыпуклого многоугольника]]
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
 +
}}
 +
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 44: Строка 60:
 
Для этой сетки справедливо соотношение <tex>V - E + F ' = 1 </tex>. Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
 
Для этой сетки справедливо соотношение <tex>V - E + F ' = 1 </tex>. Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
Следствие из формулы Эйлера для многогранников
 +
|statement=
 +
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
 +
|proof=
 +
Обозначим через <tex>V_{i}</tex> число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа вершин <tex>V</tex> имеет место равенство <tex>V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots</tex>. Аналогично, обозначим через <tex>F_{i}</tex> число граней выпуклого многогранника, у которых имеется <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа граней <tex>F</tex> имеет место равенство <tex>F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots</tex> . Посчитаем число ребер <tex>E</tex> многогранника. Имеем: <tex>3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E</tex>, <tex>3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E</tex>. По теореме Эйлера выполняется равенство <tex>4V – 4E + 4F = 8</tex>. Подставляя вместо <tex>V</tex>, <tex>E</tex> и <tex>F</tex> их выражения, получим:
 +
 +
<tex>4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots – (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8</tex>.
 +
Следовательно, <tex>V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots </tex>, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.}}
  
 
==Литература==
 
==Литература==

Версия 13:02, 10 октября 2015

Теорема (Формула Эйлера):
Для произвольного плоского связного графа [math]G[/math] с [math]V[/math] вершинами, [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями справедливо следующее соотношение:
[math]V - E + F = 2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
База индукции:
[math]F = 2[/math]. Граф [math]G[/math] представляет собой многоугольник с [math]n[/math] вершинами (рис. 1). Тогда [math]V = E = n[/math], значит, равенство [math]V - E + F = 2[/math] выполняется.
Индукционный переход:

Покажем, что если теорема верна для графов с [math]F[/math] гранями, то она будет верна и для графов с [math]F + 1[/math] гранями. Пусть [math]G[/math] - плоский граф, имеющий [math]V[/math] вершин, [math]E[/math] ребер и [math]F[/math] граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани [math]F_{\infty}[/math] некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа [math]G[/math]. Если эта цепь имеет [math]r[/math] ребер, то необходимо добавить [math]r - 1[/math] новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как [math]V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F[/math]
[math]\triangleleft[/math]
рис. 1
рис. 2
Теорема (Следствие из формулы Эйлера):
Пусть [math]G[/math] связный планарный обыкновенный граф с [math]V[/math] вершинами ([math]V \ge 3[/math]), [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями. Тогда [math]E \le 3V - 6[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку [math]G[/math] не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку [math]l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)[/math], получаем [math]3F \le 2E[/math]. Из формулы Эйлера [math]3E - 3V + 6 = 3F \le 2E[/math], то есть [math]E \le 3V - 6[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.


Определение:
Фигура Ф называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре.


Пример невыпуклого многоугольника
Утверждение:
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.


Теорема (Формула Эйлера для многогранников):
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство [math]V - E + F = 2[/math], где [math]V[/math] - число вершин, [math]E[/math] - число ребер и [math]F[/math] - число граней данного многогранника.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую [math]F' = F - 1[/math] многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), [math]V[/math] вершин и [math]E[/math] ребер.

Для этой сетки справедливо соотношение [math]V - E + F ' = 1 [/math]. Подставляем [math]F' = F - 1[/math] и получаем [math]V - E + F = 2[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие из формулы Эйлера для многогранников):
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим через [math]V_{i}[/math] число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа вершин [math]V[/math] имеет место равенство [math]V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots[/math]. Аналогично, обозначим через [math]F_{i}[/math] число граней выпуклого многогранника, у которых имеется [math]i[/math] ребер. Тогда для общего числа граней [math]F[/math] имеет место равенство [math]F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots[/math] . Посчитаем число ребер [math]E[/math] многогранника. Имеем: [math]3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E[/math], [math]3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E[/math]. По теореме Эйлера выполняется равенство [math]4V – 4E + 4F = 8[/math]. Подставляя вместо [math]V[/math], [math]E[/math] и [math]F[/math] их выражения, получим:

[math]4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots – (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8[/math].

Следовательно, [math]V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots [/math], значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
  • О.Оре - Графы и их применение