Формула Эйлера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 23: Строка 23:
 
Пусть <tex>G</tex> произвольный граф с <tex>V</tex> вершинами (<tex>V \ge 3</tex>), <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> гранями. Тогда <tex>E \le 3V - 6</tex>
 
Пусть <tex>G</tex> произвольный граф с <tex>V</tex> вершинами (<tex>V \ge 3</tex>), <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> гранями. Тогда <tex>E \le 3V - 6</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
+
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \le 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \le 2E</tex>, то есть <tex>E \le 3V - 6</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 10:21, 19 января 2011

Теорема (Формула Эйлера):
Для произвольного плоского связного графа [math]G[/math] с [math]V[/math] вершинами, [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями справедливо следующее соотношение:
[math]V - E + F = 2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
рис. 1
рис. 2

Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
База индукции:
[math]F = 2[/math]. Граф [math]G[/math] представляет собой многоугольник с [math]n[/math] вершинами (рис. 1). Тогда [math]V = E = n[/math], значит, равенство [math]V - E + F = 2[/math] выполняется.
Индукционный переход:

Покажем, что если теорема верна для графов с [math]F[/math] гранями, то она будет верна и для графов с [math]F + 1[/math] гранями. Пусть [math]G[/math] - плоский граф, имеющий [math]V[/math] вершин, [math]E[/math] ребер и [math]F[/math] граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани [math]F_{\infty}[/math] некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа [math]G[/math]. Если эта цепь имеет [math]r[/math] ребер, то необходимо добавить [math]r - 1[/math] новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как [math]V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Следствие из формулы Эйлера):
Пусть [math]G[/math] произвольный граф с [math]V[/math] вершинами ([math]V \ge 3[/math]), [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями. Тогда [math]E \le 3V - 6[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку [math]G[/math] не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку [math]l_i \ge 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)[/math], получаем [math]3F \le 2E[/math]. Из формулы Эйлера [math]3E - 3V + 6 = 3F \le 2E[/math], то есть [math]E \le 3V - 6[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
  • О.Оре - Графы и их применение