Формула включения-исключения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
  
 
{{Теорема  
 
{{Теорема  
|statement=Пусть <tex> A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i </tex> , тогда по формуле включения{{---}}исключения: <center> <tex> | A | = \sum \limits_{I_n } (-1)^{k+1}  \left| \bigcap \limits_{ j \in I_n } A_j \right| </tex> </center>
+
|statement=Пусть <tex> A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i </tex> , тогда по формуле включения{{---}}исключения: <center> <tex> | A | = \sum \limits_{I \in 2^N} (-1)^{|I|+1}  \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| </tex> </center>
Причем <tex> I_n = (i_1,i_2, \ldots ,i_k) \subset \{ 1,2, \ldots ,n \} </tex>, то есть некоторый набор индексов множеств(индексы этих множеств не могут превышать число <tex>~n</tex>), пересечение которых мы ищем в текущем слагаемом суммы. За <tex> k </tex> принимаем количество таких индексов в текущем <tex> I_n </tex>, за <tex> j </tex> индекс текущего множества (причем <tex> j \in I_n </tex>), которое будет входить в пересечение в текущем слагаемом.
+
Причем <tex> N = \{ 1,2, \ldots ,n \} </tex>, <tex> I </tex> {{---}} подмножество множества <tex> 2^N </tex>(Прим. для множества <tex> X </tex> запись <tex> 2^X </tex> означает множество всех подмножеств <tex> X </tex>). За <tex> j </tex> примем индекс текущего множества (причем <tex> j \in I </tex>), которое будет входить в пересечение в текущем слагаемом.  
 +
 
  
 
||proof=
 
||proof=

Версия 21:05, 19 октября 2011

Формула включения—исключения — это комбинаторная формула, которая позволяет определить мощность объединения конечных множеств, если известны их мощности и мощности всех их возможных пересечений.

Случай для двух множеств

Например, в случае двух множеств [math]~A, B[/math] формула включения—исключения имеет вид:

[math] | A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |[/math]

В сумме [math]~| A | + | B |[/math] элементы пересечения [math]A \cap B[/math] учтены дважды, и, чтобы компенсировать это, мы вычитаем [math] | A \cap B |[/math] из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера—Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Таким же образом и в случае [math]~n\gt 2[/math] множеств процесс нахождения количества элементов объединения [math]A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n[/math] состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении. Отсюда и происходит название формулы.

Теорема:
Пусть [math] A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i [/math] , тогда по формуле включения—исключения:
[math] | A | = \sum \limits_{I \in 2^N} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| [/math]
Причем [math] N = \{ 1,2, \ldots ,n \} [/math], [math] I [/math] — подмножество множества [math] 2^N [/math](Прим. для множества [math] X [/math] запись [math] 2^X [/math] означает множество всех подмножеств [math] X [/math]). За [math] j [/math] примем индекс текущего множества (причем [math] j \in I [/math]), которое будет входить в пересечение в текущем слагаемом.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказываем теорему по индукции.

Пусть [math]~l[/math] — это количество множеств, мощность пересечения которых мы ищем. Для случая [math]~l=1[/math] и [math]~l=2[/math] теорема, очевидно, верна. Таким образом, [math]~l=2[/math] — база индукции.

Предположим, что для [math]~l=n-1[/math] равенство верно. Докажем, что равенство истинно для [math]~l=n[/math]


Пусть [math] A [/math]— пересечение [math]~n[/math] множеств. Тогда очевидно, что [math] A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i = \left( {\bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i} \right) \cup A_n [/math]. Пусть [math] B = \bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i [/math]


Тогда исходя из предположения индукции имеем, что [math] | B | = \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I_{n-1} } A_j \right| [/math]


Кроме того, так как формула верна для [math]~l=2[/math] (из базы индукции), то верно равенство [math] | A | = | B | + | A_n | - | B \cap A_n |(1)[/math]. То найдем мощность множества [math]~ B \cap A_n [/math].


Очевидно, что [math] | B \cap A_n | = \left| \left( \bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i \right) \cap A_n \right|= \left| \bigcup \limits_{i=1}^{n-1} \left( A_i \cap A_n \right) \right| (2)[/math]


Тогда из предположения индукции имеем, что [math] (2) = [/math] [math] \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I_{n-1} } \left( A_j \cap A_n \right) \right| = \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I_{n-1} \cup \{ n \} } A_j \right| [/math]


Подставим полученные значение в [math](1)[/math]:


[math] | A |\!\! = | A_n |+\left( \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I_{n-1} } A_j \right| \right) - \left( \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I_{n-1} \cup \{ n \} } A_j \right| \right)[/math]

В силу того, что [math] - \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I_{n-1} \cup \{ n \} } A_j \right| = \ \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I_{n-1} \cup \{ n \} } A_j \right| \[/math]

Имеем в предыдущей формуле

[math] | A |\!\!=| A_n |+\left( \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I_{n-1} } A_j \right| \right) + \left( \sum \limits_{I_{n-1}} (-1)^{|I_{n-1}|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I_{n-1} \cup \{ n \} } A_j \right| \right) [/math] [math]= \sum \limits_{I_n} (-1)^{|I_n|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I_n } A_j \right| [/math] .

Равенство справедливо, потому что все наборы [math] I_n [/math] можно разбить на три группы :

  1. [math] (n) [/math]
  2. [math] (I_{n-1})[/math] Это означает, что в наборе точно не будет присутствовать индекс [math] n [/math], а будут все различные варианты индексов остальных множеств, т.е. [math] I_{n-1} [/math]
  3. [math] (n; I_{n-1}) [/math] Аналогично предыдущему, только в наборе будет индекс [math] n [/math]

Как видно из равенства, каждое слагаемое "отвечает" за соответствующие группы. Значит равенство истинно.

Значит для [math]~l=n[/math] мы доказали, что равенство верно. Значит индукционный переход доказан, то теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]