Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим некоторый элемент <tex> x \in \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i </tex>. Пусть <tex> x \in \bigcap \limits_{j=1}^{t}A_{i_j} </tex>. Тогда найдем число вхождений элемента <tex> x </tex> в правую часть формулы.
<tex>k = (-1) ^ {t + 1} {t \choose t} + (-1) ^ {t} {t \choose {t - 1}} + \ldots + (-1)^2 {t \choose 1} + (-1) {t \choose 0} = -\sum \limits_{j = 1}^{t} (-1)^j {t \choose j} </tex><tex> = {t \choose 0} - \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j}</tex>
Докажем, что <tex> \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j} = 0</tex>
Таким образом, <tex> k = {t \choose 0} - \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j = 1 - 0 = 1</tex>, то есть каждый элемент подсчитан в правой части формулы ровно один раз, то Теорема доказана.
'''II. Доказательство Теоремы по индукции.'''
