Изменения

 == Формула включения-исключения =={{Определение|definition='''Формула включения–исключениявключения-исключения''' (англ. ''Inclusion-exclusion principle'') {{---}} это комбинаторная формула, которая позволяет определить выражающая мощность объединения конечных множеств, если известны их через мощности всех множеств и мощности всех их возможных пересечений.}}

Для случая из двух множеств <texdpi = "140">~A, B</tex> формула включения{{---}}исключения имеет следующий вид:

<texdpi = "140"> | A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |</tex>

В силу того, что в сумме <texdpi = "140">~| A | + | B |</tex> элементы пересечения <texdpi = "140">A \cap B</tex> учтены дважды, то уменьшаем текущее значение суммы на мощность пересечения, чтобы каждый элемент был подсчитан ровно один раз. Для наглядности воспользуемся диаграммой Эйлера–Венна Эйлера{{---}}Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.

Для случая с большим количеством рассматриваемых множеств <texdpi = "140"> n </tex> процесс нахождения количества элементов объединения состоит в поочередном включений ошибочно исключенного, затем и исключений ошибочно включенного и так далее. Отсюда и происходит название формулы.

Сформулируем и докажем Теорему теорему для нахождения мощности объединения произвольного количества множеств.

|statement=Пусть <texdpi = "140"> A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i </tex> , тогда по формуле включения–исключениявключения-исключения: <center> <texdpi = "140"> | A | = \sum \limits_{I \in 2^N-1} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| </tex> </center>Причем <texdpi = "140"> N = \{ 1,2, \ldots ,n \} </tex>. Здесь за <texdpi = "140"> 2^N - 1 </tex> обозначим множество всех непустых подмножеств <texdpi = "140"> N </tex>.

Приведем два разноплановых доказательства Теоремытеоремы.

'''I. Комбинаторное доказательство Теоремытеоремы.'''

Рассмотрим некоторый элемент <texdpi = "140"> x \in \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i </tex>. Пусть <texdpi = "140"> x \in \bigcap \limits_{j=1}^{t}A_{i_j} </tex>. Тогда найдем число вхождений элемента <texdpi = "140"> x </tex> в правую часть формулы.

<texdpi = "140">k = (-1) ^ {t + 1} {t \choose t} + (-1) ^ {t} {t \choose {t - 1}} + \ldots + (-1)^2 {t \choose 1} + (-1) {t \choose 0} = -\sum \limits_{j = 1}^{t} (-1)^j {t \choose j} </tex><texdpi = "140"> = {t \choose 0} - \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j} </tex>

Докажем, что <texdpi = "140"> \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j} = 0</tex>

В силу того, что <texdpi = "140"> (1 + (-1)) ^ t = {t \choose 0} 1^t (-1)^0 + {t \choose 1} 1 ^ {t - 1} (-1) ^ 1 + \ldots + {t \choose t} 1^0 (-1)^t = \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j}</tex>, имеем <texdpi = "140"> 0 = (1 + (-1)) ^ t = \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j {t \choose j}</tex>, то равенство доказано.

Таким образом, <texdpi = "140"> k = {t \choose 0} - \sum \limits_{j = 0}^{t} (-1)^j = 1 - 0 = 1</tex>, то есть каждый элемент подсчитан в правой части формулы ровно один раз, то Теорема теорема доказана.

'''II. Доказательство Теоремы теоремы по индукции.'''

Пусть <texdpi = "130">~l</tex> {{---}} это количество множеств, мощность пересечения которых мы ищем. Для случая <texdpi = "130">~l=1</tex> равенство обращается в тривиальное (<texdpi = "130"> |A| = |A_1| </tex> {{---}} истинно). Для случая <texdpi = "130"x>~l=2</tex> справедливость теоремы пояснена выше. Таким образом, <texdpi = "130">~l=2</tex> {{---}} база индукции.

Предположим, что для <texdpi = "130">~l=n-1</tex> равенство верно. Докажем, что равенство истинно для <texdpi = "130">~l=n</tex>

Пусть <texdpi = "130"> A </tex> {{---}} объединение <texdpi = "130">~n</tex> множеств. Очевидно, что <texdpi = "130"> A = \bigcup \limits_{i=1}^{n}A_i = \left( {\bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i} \right) \cup A_n </tex>. Пусть <texdpi = "130"> B = \bigcup \limits_{i=1}^{n-1}A_i </tex>; <texdpi = "130">N' = \{ 1,2, \ldots ,n-1 \} </tex>.

<texdpi = "130"> | B | = \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| </tex> 

 <texdpi = "130"> | A | = | A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I} A_j \right| \right) - \left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right)</tex> <texdpi = "130"> =| A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| \right) + \left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right)

Докажем, что <texdpi = "130"> | A_n |+\left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| \right) + \left( \sum \limits_{I \in 2^{N'}} (-1)^{|I|+2} \left| \bigcap \limits_{ j\in I \cup \{ n \} } A_j \right| \right) </tex> <tex dpi = "130"> = \sum \limits_{I \in 2^N} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| </tex> Равенство справедливо, потому что все наборы <tex dpi = "130"> I \in 2^N </tex> можно разбить на две группы : # <tex dpi = "130"> I \in 2^{N'} </tex> Это означает, что в наборе точно '''не''' будет присутствовать индекс <tex dpi = "130"> n </tex>, а будут все различные варианты индексов остальных множеств, т.е. <tex dpi = "130"> I \in 2^{N'}</tex>.# <tex dpi = "130">\{n\} \cup I</tex>, где <tex dpi = "130">I \in N'</tex> Аналогично предыдущему, только в наборе будет индекс <tex dpi = "130"> n </tex> . Как видно из равенства, первое и третье слагаемое "отвечают" за вторую группу, а второе слагаемое за первую группу. Значит, равенство истинно и <tex dpi = "130">|A| = \sum \limits_{I \in 2^N} (-1)^{|I|+1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| </tex>.Таким образом, для <tex dpi = "130">~l=n</tex> мы доказали, что равенство верно. Значит, индукционный переход верен, то есть теорема доказана.}} == Беспорядки =={{Определение|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. |definition='''Беспорядок''' (англ. ''Derangement'') — это перестановка чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, в которой ни один элемент не стоит на своём месте. }} === Явная формула с использованием принципа включения-исключения ==={{Теорема|id=идентификатор (необязательно), пример: th1. |statement= Количество беспорядков порядка <tex>n</tex> равно субфакториалу <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%B1%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB Википедия {{---}} Субфакториал]</ref> числа <tex>n</tex> (обозначение: <tex>!n</tex>) и вычисляется по формуле:  <tex dpi = "150"> !n = n! - \frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2!} - \frac{n!}{3!} + ... + \frac{n!}{n!}(-1)^{n}= \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}(-1)^{k} </tex>|proof=Воспользуемся принципом включения-исключения: обозначим за <tex dpi = "130">A_i</tex> — количество перестановок из <tex dpi = "130">n</tex> элементов, в каждой из которых <tex dpi = "130">i</tex>-ый элемент стоит на своём месте. Тогда по формуле включения-исключения имеем: <tex dpi = "140"> \Big |\bigcap_{i=_1}^n \overline{A}_i \Big| = |U|-\sum \limits_{i} |A_i|+\sum \limits_{i < j} |A_i\bigcap A_j|-\sum \limits_{i < j < k} |A_i\bigcap A_j\bigcap A_k|</tex> <tex dpi = "130">+ ... +(-1)^{n}| A_1 \bigcap A_2 \bigcap ... \bigcap A_n | </tex>, где универсум <tex dpi = "130">U</tex> — множество из всех перестановок порядка <tex dpi = "130">n</tex>.  <tex>\overline{A}_i</tex> — количество перестановок, в каждой из которых <tex>i</tex>-ый элемент стоит не на своём <tex>i</tex>-ом месте. Таким образом <tex dpi = "130">| \bigcap_{i=_1}^n \overline {A}_i |</tex> — количество всех перестановок, в каждой из которых <tex>i</tex>-ый элемент <tex dpi = "130">\neq</tex> <tex dpi = "130">i</tex>,то есть количество искомых беспорядков. <tex dpi = "130">|A_i| = (n - 1)!</tex>, так как <tex dpi = "130">i</tex>-ая позиция занята числом <tex dpi = "130">i</tex>. <tex dpi = "130">\binom{n}{1}</tex> — количество способов выбрать одну <tex dpi = "130">i</tex>-ую позицию <tex dpi = "130"> \Rightarrow \sum \limits_{i = 1}^{n} |A_i| = \binom{n}{1} (n-1)!</tex> Рассмотрим <tex dpi = "130"> |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| </tex>, где <tex dpi = "130"> 1\leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant n </tex>. Так как некоторые <tex dpi = "130">k</tex> позиций <tex dpi = "130">i_1, i_2, ... , i_k </tex> заняты соответствующими числами, то количество способов расставить остальные <tex dpi = "130">n-k</tex> чисел равно <tex dpi = "130">(n-k)!</tex>. То есть <tex dpi = "130"> |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| = (n - k)! </tex> Количество всех способов выбрать <tex dpi = "130">k</tex> позиций <tex dpi = "130">i_1, i_2, ... , i_k </tex> равно <tex dpi = "130">\binom{n}{k} </tex>. Таким образом получаем, что:  <tex dpi = "130">\sum \limits_{1\leqslant i_1 < i_2 < ... < i_k \leqslant n}^{} |A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \bigcap ... \bigcap A_{i_k}| = \binom{n}{k} \cdot(n-k)! </tex> Подставляя соответствующие значения мощностей множеств в формулу включения-исключения, получаем: <tex dpi = "130">| \bigcap_{i=_1}^n \overline{A}_i | = n! + \sum \limits_{k = 1}^{n} (-1)^{k}\binom{n}{k} \cdot (n - k)!.</tex>  Раскрывая <tex dpi = "140">\binom{n}{k}</tex> по общеизвестной формуле, получим требуемое выражение, то есть количество беспорядков порядка <tex dpi = "130">n</tex>.}} === Рекурретное соотношение для нахождения количества беспорядков === {{Утверждение|statement = Количество беспорядков удовлетворяет рекурсивным соотношениям: <tex dpi = "140"> d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)] </tex> и <tex dpi = "140"> d(n)=n \times d(n-1)+(-1)^{n} </tex>, где <tex dpi = "140"> d(1)=0 </tex>, а <tex dpi = "140"> d(2)=1 </tex>|proof =1) Докажем второе соотношение: Так как <tex dpi = "140"> d(n)=!n </tex>, то можно переписать эту формулу, как <tex dpi = "140"> !n=n!(n-1)+(-1)^{n} </tex> По формуле субфакториала <tex dpi = "140"> !n=n!(\sum \limits_{k = 0}^{n-1} \frac {(-1)^{k}}{k!} + \frac {(-1)^{n}}{n!})=n!\sum \limits_{k = 0}^{n-1} \frac {(-1)^{k}}{k!}+(-1)^{n}=n \times !(n-1)+(-1)^{n}</tex> 2) Докажем первое соотношение:

Равенство справедливо, потому что все наборы У нас есть <tex> I \in 2^N n </tex> можно разбить чисел и столько же мест. Мы должны найти количество способов разместить эти числа так, что ни одно из чисел не оказалось на две группы :месте с таким же номером.

# Предположим, что первое число оказалось на месте с номером <tex> I \in 2^{N'} i </tex> . Это означает, что в наборе точно '''не''' будет присутствовать индекс можно сделать <tex> n -1 </tex>способами, а будут все различные варианты индексов остальных множествтак как первое число может оказаться на любом месте, т.екроме первого. <tex> I \in Теперь есть 2^{N'}</tex>.# <tex>\{n\} \cup I</tex>варианта, где <tex>I \in N'</tex> Аналогично предыдущемузависящие от того, только в наборе будет индекс окажется ли число с номером <tex> n i </tex>на первом месте или нет.

Как видно из равенства, первое * Число <tex> i </tex> на первом месте. Остается <tex> n-2 </tex> мест и третье слагаемое "отвечают" за вторую группу, а второе слагаемое за первую группу<tex> n-2 </tex> чисел. То есть количество беспорядков от <tex> n-2 </tex>* Число <tex> i </tex> не может оказаться на первом месте. Значит, равенство истинно Это эквивалентно решению задачи с <tex> n-1 </tex> местами и <tex>|A| = \sum \limits_{I \in 2^N} (n-1</tex> числами (первое число уже заняло место, а остальные еще нет)^{|I|+: у каждого числа будет одно запрещенное место (у числа с номером <tex> i </tex> запрещенным будет первое место). Получается количество беспорядков от <tex> n-1} \left| \bigcap \limits_{ j \in I } A_j \right| </tex> .Таким образомЭти 2 случая не пересекаются и поэтому суммируются. В первом случае число <tex> i </tex> занимает первое место, затем идет распределение остальных чисел, для не зависящее от первого и <tex>~l=ni </tex> мы доказали, что равенство верно-го чисел. ЗначитВо втором же случае число с номером <tex> i </tex> попасть на первое место не может, индукционный переход верена значит займет какое-то другое место, то есть Теорема доказанаи распределение остальных чисел уже будет другое. В итоге получается необходимая формула.